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Lexikon der Mathematik: Erwartungswert

zentraler Begriff in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Für eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\space {\mathfrak{A}},\space P)\) definierte numerische Zufallsvariable X ist der Erwartungswert durch \begin{eqnarray}E(X):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}X(\omega )P(d\omega )\end{eqnarray} definiert, sofern das Integral Ω |X(ω)|P() < ∞ oder X ≥ 0 ist. Man sagt dann auch, daß der Erwartungswert von X existiert.

Der Transformationssatz für Integrale gestattet die Darstellung des Erwartungswertes mit Hilfe der Verteilung PX von X. Es gilt \begin{eqnarray}E(X)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{X({\rm{\Omega }})}x{P}_{X}(dx).\end{eqnarray}

Ist X eine absolut stetige Zufallsvariable mit Werten in ℝ, so besitzt PX eine Dichte fX bezüglich des Lebesguemaßes λ. Es gilt dann \begin{eqnarray}E(X)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}x{f}_{X}(x)\lambda (dx).\end{eqnarray}

Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in ℝ, so besitzt PX eine Dichte pX bezüglich des sog. Zählmaßes. Es gilt dann \begin{eqnarray}E(X)=\displaystyle \sum _{x\in X({\rm{\Omega }})}x{p}_{X}(x)=\displaystyle \sum _{x\in X({\rm{\Omega }})}xP(X=x).\end{eqnarray}

Der Erwartungswert besitzt die folgenden Eigenschaften:

  1. Ist X eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert existiert, so gilt für beliebige a, b ∈ ℝ \begin{eqnarray}E(aX+b)=aE(X)+b.\end{eqnarray}
  2. Für zwei auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definierte Zufallsvariablen X und Y mit Erwartungswerten E(X) und E(Y) gilt \begin{eqnarray}E(X+Y)=E(X)+E(Y).\end{eqnarray}
  3. Sind X und Y zwei auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definierte unkorrelierte Zufallsvariablen mit Erwartungswerten E(X) und E(Y), so gilt \begin{eqnarray}E(XY)=E(X)E(Y).\end{eqnarray}
  4. Ist X eine Zufallsvariable und g eine meßbare reelle Abbildung, für die die Komposition gX definiert ist, so gilt \begin{eqnarray}E(g\circ X)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{X({\rm{\Omega }})}g(x){P}_{X}(dx),\end{eqnarray} falls X(Ω) |g(x)|PX(dx) < ∞.

Für eine Zufallsvariable X = Re X + i Im X mit Werten in ℂ wird der Erwartungswert analog durch \begin{eqnarray}E(X)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}\mathrm{Re}\space X(\omega )P(d\omega )+i\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}\mathrm{Im}\space X(\omega )P(d\omega )\end{eqnarray} definiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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