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Lexikon der Mathematik: erweiterter Erzeuger einer Halbgruppe

ein Operator der folgenden Art.

Gegeben sei eine Halbgruppe von Operatoren (Tt) auf dem Raum B(S, Σ) der bzgl. der σ-Algebra Σ meßbaren beschränkten Funktionen auf S. Für diese Halbgruppe, die nicht stark stetig zu sein braucht, nennt man den durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}(Af)(x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\to 0}\frac{({T}_{h}f)(x)-f(x)}{h} \end{array}\end{eqnarray} erklärten Operator den erweiterten Erzeuger; sein Definitionsbereich besteht aus denjenigen fB(S, Σ), für die der Grenzwert in (1) punktweise existiert und eine Funktion in B(S, Σ) definiert. Solche Halbgruppen treten u. a. in der Theorie der Markow-Prozesse auf, nämlich als \begin{eqnarray}({T}_{t}f)(x)={{\mathbb{E}}}^{x}f({X}_{t}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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