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Lexikon der Mathematik: Erweiterungsprinzip

grundlegendes Prinzip im Zusammenhang mit der Behandlung unscharfer Mengen, von Zadeh im Jahre 1975 eingeführt.

Die große Bedeutung des Erweiterungsprinzips liegt darin, daß es eine Übertragung des Abbildungsbegriffes auf unscharfe Mengen ermöglicht. Dabei bleibt für den Spezialfall einer scharfen Teilmenge der übliche Abbildungsbegriff erhalten.

Gegeben seien

  • die klassischen Mengen X1, … ,Xn, Z,
  • n unscharfe Mengen \(\tilde{{A}_{i}}\) auf Xi, i = 1, …, n,
  • eine Abbildung \(g:{X}_{1}\times \cdots \times {X}_{n}\to Z\), \(({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\mapsto z=g({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\).

Dann wird durch die Abbildung g eine unscharfe Bildmenge \(\tilde{B}\) auf Z induziert mit der Zugehörigkeitsfunktion \begin{eqnarray}{\mu }_{B}(z)=\mathop{\sup }\limits_{({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\in {g}^{-1}(z)}\min \{{\mu }_{{A}_{1}}({x}_{1}),\ldots, {\mu }_{{A}_{n}}({x}_{n})\},\end{eqnarray}< ?PageNum _79 falls g−1(z) ≠ ∅, wobei g−1(z) die Urbildmenge von z symbolisiert.

Falls g−1(z) = ∅, wird μB(z) = 0 gesetzt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Erweiterungsprinzip
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Erweitertes Maximum zweier Fuzzy-Zahlen; es ist \({\mu }_{{\max }}(z)=\mathop{\sup }\limits_{(x,y)}\min ({\mu }_{M}(x),{\mu }_{N}(y))\) mit z = max(x, y)

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Erweiterungsprinzip
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Erweitertes Minimum zweier Fuzzy-Zahlen; es ist \({\mu }_{{\min }}(z)=\mathop{\sup }\limits_{(x,y)}\min ({\mu }_{M}(x),{\mu }_{N}(y))\) mit z = min(x, y)

Das Erweiterungsprinzip von Zadeh ist die übliche, aber offensichtlich nicht die einzige Möglichkeit, Abbildungen auf unscharfe Mengen zu übertragen.

Jain schlägt vor, die Supremumbildung durch die algebraische Summe zu ersetzen (algebraische Summe unscharfer Mengen).

Dubois und Prade weisen darauf hin, daß der Minimum-Operator durch das algebraische Produkt ersetzt werden könnte (algebraisches Produkt unscharfer Mengen).

Ein flexibles Konzept ist der Vorschlag von Rommelfanger und Keresztfalvi, den Minimum-Operator durch die parameterabhängige T-Norm von Yager zu ersetzen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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