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Lexikon der Mathematik: erzeugende Funktion einer kanonischen Transformation

wie folgt konstruierte Funktion.

Für eine gegebene kanonische Transformation (q, p) ↦ (Q(q, p), P(q, p)) des ℝ2n betrachte man z. B. die 1-Form \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}({P}_{i}(q,p)d{Q}_{i}(q,p)-{p}_{i}d{q}_{i}),\end{eqnarray} die identisch mit dem Differential dS einer auf ℝ2n definierten reellwertigen C-Funktion S sein muß. Diese Funktion S, die oft über einer geeigneten kleineren offenen Teilmenge in der Form S(q, p) =: S1(Q(q, p), p) oder als Legendre-Transformierte \begin{eqnarray}{S}_{2}(q,P(q,p))=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{P}_{i}(q,p){Q}_{i}(q,p)-S(q,p)\end{eqnarray} geschrieben wird, heißt erzeugende Funktion von (Q, P).

Durch Vorgabe geeigneter erzeugender Funktionen lassen sich umgekehrt kanonische Transformationen konstruieren, zum Beispiel Qi ≔ ∂S2/∂Pi und pi = ∂S2/∂qi. In der Nähe von Fixpunkten der Transformation hat man unter bestimmten Bedingungen die Invarianz erzeugender Funktionen unter Wechsel von Darboux-Koordinaten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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