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Lexikon der Mathematik: erzeugende Funktion einer zahlentheoretischen Funktion

zu einer zahlentheoretischen Funktion f:0 → ℂ die durch die Potenzreihe \begin{eqnarray}F(z):=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n){z}^{n}\end{eqnarray} definierte Funktion F, sofern die Reihe einen positiven Konvergenzradius besitzt.

Erzeugende Funktionen spielen in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle. Bezeichnet zum Beispiel p(n) die Anzahl der Partitionen einer natürlichen Zahl n, und setzt man noch p(0) ≔ 1, so ist die erzeugende Funktion F von p gegeben durch das unendliche Produkt \begin{eqnarray}F(z)=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\frac{1}{1-{z}^{n}},\quad |z|\lt 1.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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