auch momenterzeugende Funktion genannt, innerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig benutztes Hilfsmittel zur Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ℕ₀ ≔ {0, 1, 2,…}, wobei die σ-Algebra auf ℕ₀ hier und im folgenden die Potenzmenge \({\mathfrak{P}}\text{(}{{\mathbb{N}}}_{\text{0}}\text{)}\) von ℕ₀ ist.

(Für die Bedeutung der erzeugenden Funktionen innerhalb der Zahlentheorie vergleiche man erzeugende Funktion einer zahlentheoretischen Funktion).

Ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ℕ₀ und p_k ≔ P({k}), k = 0, 1,…, so heißt die durch \begin{eqnarray}G(s):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{p}_{k}{s}^{k}\end{eqnarray} im Konvergenzbereich der Reihe erklärte Funktion G erzeugende Funktion von P.

Ist X eine Zufallsvariable mit Werten in ℕ₀ und P_k ≔ P(X = k), k = 0, 1,…, so heißt die erzeugende Funktion der Verteilung von X, also die Funktion \begin{eqnarray}G(s):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{p}_{k}{s}^{k}=E({s}^{X})\end{eqnarray} erzeugende Funktion von X. E(s^X) bezeichnet dabei den Erwartungswert von s^X.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ℕ₀ ist durch seine erzeugende Funktion eindeutig bestimmt.

Mit Hilfe der erzeugenden Funktion kann man die Momente einer Zufallsvariablen berechnen:

Ist X eine ℕ₀-wertige Zufallsvariable mit der erzeugenden Funktion G(s), so ist \begin{eqnarray}E(X(X-1)\ldots (X-n+1))=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{s\uparrow 1}{G}^{(n)}(s)\\=:{G}^{(n)}(1-)\space\space \end{eqnarray}für alle n ∈ ℕ. Dabei ist die Gleichung so zu verstehen, daß der Erwartungswert auf der linken Seite genau dann existiert, also endlich ist, wenn G⁽ⁿ⁾(1−) < ∞.

Insbesondere existiert der Erwartungswert E(X) bzw. die Varianz V(X) genau dann, wenn G′(1−) < ∞ bzw. G″(1−) < ∞, und dann ist E(X) = G′(1−) bzw. \begin{eqnarray}V(X)={G}^{^{\prime\prime} }(1-)+{G}^{^{\prime} }(1-)-{G}^{^{\prime} }{(1-)}^{2}.\end{eqnarray}

Erzeugende Funktionen erlauben eine einfache Bestimmung der Verteilung der Summe unabhängiger Zufallsvariablen:

Seien X und Y unabhängige ℕ₀-wertige Zufallsvariablen mit den erzeugenden Funktionen G_X und G_Y, und sei G_X+Y die erzeugende Funktion von X + Y. Dann ist \begin{eqnarray}{G}_{X+Y}(s)={G}_{X}(s){G}_{Y}(s).\end{eqnarray}

Auch zur Bestimmung der Verteilung der Summe einer zufälligen Anzahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen sind erzeugende Funktionen nützlich:

Seien X₁, X₂,… unabhängige, identisch verteilte ℕ₀-wertige Zufallsvariablen mit der (für alle X_i identischen) erzeugenden Funktion G, und sei N eine von X₁, X₂,… unabhängige, ℕ₀-wertige Zufallsvariable mit der erzeugenden Funktion G_N. Ist G_S die erzeugende Funktion der Summe \begin{eqnarray}S:=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{X}_{i},\end{eqnarray}so gilt \begin{eqnarray}{G}_{S}(s)={G}_{N}(G(s)).\end{eqnarray}

Schließlich besteht ein Zusammenhang zwischen der Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und der Konvergenz ihrer erzeugenden Funktionen:

Für alle n ∈ ℕ sei p_k(n), k = 0, 1,…, ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ℕ₀ (d.h. p_k(n) ≥ 0 und \(\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{p}_{k}(n)=1\)) mit erzeugender Funktion G_n.

Dann existiert der Grenzwert \begin{eqnarray}{p}_{k}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{p}_{k}(n)\end{eqnarray}genau dann für alle k ∈ ℕ₀, wenn der Grenzwert \(G(s):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{G}_{n}(s)\)für alle s ∈ (0, 1) existiert. In diesem Falle ist p_k ≥ 0, \(\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{p}_{k}\le 1\)und \begin{eqnarray}G(s)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{p}_{k}{s}^{k}.\end{eqnarray}