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Lexikon der Mathematik: Erzeugendensystem

Teilmenge EV eines Vektorraumes V, die in keinem echten Untervektorraum von V enthalten ist.

Etwas anschaulicher und für die Namensgebung verständlicher ist die folgende Formulierung: Ist E Erzeugendensystem von V, dann läßt sich jedes vV als Linearkombination von endlich vielen Elementen aus E darstellen. Es existieren also \({\alpha }_{i}\in {\mathbb{K}}\) und eiE so, daß \begin{eqnarray}v=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}{e}_{i}.\end{eqnarray}

Man sagt auch: E spannt den Vektorraum V auf und bezeichnet V als die lineare Hülle von E. Eine Familie (ei)iI von Vektoren irgendeines Vektorraums V wird als Erzeugendensystem bezeichnet, wenn \begin{eqnarray}L({({e}_{i})}_{i\in I})=V\end{eqnarray} gilt, wobei L die lineare Hülle bezeichnet. Jeder Vektorraum besitzt ein Erzeugendensystem.

Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt Basis des Vektorraums V. Ist E ein Erzeugendensystem, so gibt es stets eine Teilmenge BE, die Basis von V ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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