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Lexikon der Mathematik: Erzeuger einer Operatorhalbgruppe

auch als Generator einer Operatorhalbgruppe bezeichnet, ein einer Operatorhalbgruppe zugeordneter i. allg. unbeschränkter linearer Operator.

Sei (Tt)t≥0 eine stark stetige Operatorhalbgruppe auf einem Banachraum X. Der Erzeuger von (Tt) ist der durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Ax=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\to 0}\frac{{T}_{h}x-x}{h} \end{array}\end{eqnarray} definierte Operator auf dem Definitionsbereich all der xX, für die der Grenzwert in (1) existiert; man erhält denselben Definitionsbereich, wenn man in (1) lediglich die schwache Konvergenz verlangt. Der Erzeuger A ist stets abgeschlossen und dicht definiert; A ist genau dann beschränkt, wenn (Tt) normstetig ist.

Für Anwendungen ist die umgekehrte Fragestellung, nämlich welche dicht definierten abgeschlossenen Operatoren Erzeuger von stark stetigen Operatorhalbgruppen sind, wichtig. Diese Frage wird in den Sätzen von Hille-Yosida und Lumer-Phillips beantwortet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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