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Lexikon der Mathematik: etal

eine eine lokale Eigenschaft von Morphismen p : XY von Schemata.

Wenn xX, so heißt p etal im Punkt x, wenn es eine Umgebung U von x und eine Umgebung V von p(x) in Y mit Up−1V gibt derart, daß U eine abgeschlossene Einbettung in ein offenes Unterschema \(W\subset V\times {{\mathbb{A}}}^{n}\) (für ein n) besitzt, so daß das Ideal von U in W durch n Polynome \({f}_{i}\in {{\mathscr{O}}}_{Y}(V)[{T}_{1},\ldots {T}_{n}]\) erzeugt wird; schließlich muß noch gelten: \begin{eqnarray}\det (\partial {f}_{i}/\partial {T}_{j})\ne 0\mathrm{in}X.\end{eqnarray}

Dies ist äquivalent zu folgenden Bedingungen:

  • p ist lokal von endlicher Darstellung in einer Umgebung von X,
  • p ist flach in x (d. h. \({{\mathscr{O}}}_{X,x}\) ist flache Erweiterung von \({{\mathscr{O}}}_{Y,p(x)}\)),
  • x ist isoliert in seiner Faser,
  • \({{\mathscr{O}}}_{X,x}\space /\space {{\mathfrak{m}}}_{Y,p(x)}{{\mathscr{O}}}_{X,x}\) ist eine separable Körpererweiterung von \({{\mathscr{O}}}_{Y,y}\space /\space {{\mathfrak{m}}}_{Y,p(x)}\).
  • Die Eigenschaft “etal“ ist offen, d. h. wenn p in xX etal ist, so auch in einer Umgebung von x. p heißt Etalmorphimus, wenn p in jedem Punkt von X etal ist. Das komplex-analytische Analogon ist biholomorph in einer Umgebung von X.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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