Länge eines Vektors in einem euklidischen Vektorraum.

Ein reeller Vektorraum V, der mit einem Skalarprodukt < x, y > versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum. In einem euklidischen Vektorraum kann man mit Hilfe des Skalarprodukts jedem x ∈ V eine Länge zuordnen und nennt den Wert \(\sqrt{\lt x,x\gt }\) die euklidische Länge des Vektors x.

Ist beispielsweise V = ℝⁿ der n-dimensionale euklidische Raum, so ergibt sich für einen Vektor (x₁, …, x_n) ∈ ℝⁿ die Länge \begin{eqnarray}\sqrt{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+\cdots +{x}_{n}^{2}}.\end{eqnarray}

Man vergleiche hierzu auch euklidische Norm.