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Lexikon der Mathematik: euklidischer Ring

Integritätsbereich, in dem ein Divisionsalgorithmus möglich ist.

Es sei R ein Integritätsbereich. Dann heißt R ein euklidischer Ring, falls es eine Abbildung d : R\{0} → ℕ gibt, so daß gelten:

  1. d(a · b) ≥ d(a) für alle a, bR.
  2. Für je zwei Elemente a, bR gibt es eine Darstellung a = q · b + r, wobei q und r Elemente von R sind und entweder gilt r = 0 oder d(r) < d(b).

Das einfachste Beispiel eines euklidischen Ringes ist der Ring der ganzen Zahlen ℤ mit der Abbildung d(n) = |n|. Aber auch der Ring der Polynome K[x] über einem Körper K wird zu einem euklidischen Ring, wenn man als d(p) den Grad des Polynoms p wählt. Ein in der Zahlentheorie wichtiges Beispiel eines euklidischen Ringes ist der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen \begin{eqnarray}{\mathbb{Z}}[i]=\{m+in\in {\mathbb{C}}|m,\space \space n\in {\mathbb{Z}}\},\end{eqnarray} versehen mit der Abbildung d(m + in) = m2 + n2.

Wesentlich an einem euklidischen Ring ist, daß man mit dem euklidischen Algorithmus, der auf Eigenschaft (2) beruht, den größten gemeinsamen Teiler zweier Elemente a, bR bestimmen kann.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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