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Lexikon der Mathematik: Euler-Darstellung der Hydrodynamik

Darstellung aller Größen der Hydrodynamik als Funktionen der< ?PageNum _91 Ortskoordinaten eines dreidimensionalen euklidischen Raums und der Zeit.

Zu jedem Zeitpunkt wird also die gesamte Flüssigkeit beschrieben. Es ist auch eine andere Darstellung möglich, die sich an die Mechanik endlich vieler Teilchen anlehnt. Man kann sich die Flüssigkeit als aus kleinen Elementen bestehend vorstellen und ihre Bewegung verfolgen (Lagrange-Darstellung der Hydrodynamik).

Ein solches Element wird durch drei Koordinaten a, b, c, die es zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 hatte und die konstant bleiben, und den Zeitpunkt t raum-zeitlich lokalisiert.

Aus mathematischer Sicht ist die Euler-Darstellung der Lagrange-Darstellung vorzuziehen.

Seien xi (i = 1, 2, 3) rechtwinklige Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raums. Eine ideale Flüssigkeit mit der Massendichte ϱ, die unter der Wirkung einer gegebenen Kraftdichte mit den Komponenten ki steht, wird durch die auf Euler zurückgehenden Gleichungen \begin{eqnarray}\varrho \left(\frac{\partial {u}^{i}}{\partial t}+{u}^{k}\frac{\partial {u}^{i}}{\partial {x}^{k}}\right)+{\delta }^{ik}\frac{\partial p}{\partial {x}^{k}}={k}^{i}\end{eqnarray} (Einsteinsche Summenkonvention) beschrieben. Dabei sind die ui die Komponenten der Geschwindigkeit, die die Flüssigkeit im Punkt mit den Koordinaten xi hat, und δik bezeichnet das Kronecker-Symbol.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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