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Lexikon der Mathematik: Euler, Leonhard

Mathematiker und Physiker, geb. 15.4.1707 Basel, gest. 18.9.1783 St. Petersburg.

Euler wurde als Sohn eines Pfarrers geboren. Beide Eltern waren sehr gebildet und mit mehreren< ?PageNum _88 bedeutenden Mathematikern freundschaftlich verbunden. Euler wurde zunächst von seinem Vater unterrichtet, später besuchte er die Lateinschule und erhielt, als der Vater sein mathematisches Talent erkannt hatte, von Johann I Bernoulli (Bernoulli-Familie) mathematische Unterweisungen zusammen mit dessen Söhnen Daniel und Niklas.

Im Herbst 1720 begann Euler sein Studium an der philosophischen Fakultät der Universität Basel, 1723 an der theologischen Fakultät, widmete sich dann aber verstärkt der Mathematik. 1727 ging er nach St. Petersburg, wo Daniel und Niklas Bernoulli an der Akademie tätig waren. 1730 wurde er dort Professor für Physik und drei Jahre später Professor für Mathematik. Damit begann eine erste erfolgreiche Schaffensperiode im Leben Eulers.

Innenpolitische Unsicherheiten veranlaßten ihn, 1741 einen Ruf an die Berliner Akademie anzunehmen. Ab 1746 war er dort Direktor der mathematischen Klasse und leitete faktisch nach dem Tod des Akademiepräsidenten de Maupertuis die Akademie. Zunehmende Differenzen mit dem König von Preußen bewogen Euler, seine Entlassung zu betreiben und 1766 wieder nach Petersburg zurückzukehren. Noch 1766 erblindete Euler, trotzdem war er, unterstützt von seinem Sohn und von Fuß, bis zu seinem Tod schöpferisch tätig.

Den ersten Platz in Eulers mathematischen Schaffen nimmt die Analysis ein. Mit den Lehrbüchern zur Analysis des Unendlichen (1748), zur Differential- (1755) und Integralrechnung (1768–70) gab er eine erste systematische Darstellung der Theorie, wobei er viele heute übliche Begriffe und Bezeichnungen einführte. Dazu gehörten u. a. die Bezeichnung für die trigonometrischen Funktionen, die Schreibweise f(x) für eine Funktion der Veränderlichen x, die Buchstaben e für die Basis der natürlichen Logarithmen und i für die imaginäre Einheit, sowie das Summenzeichen Σ.

Ausgehend von einem gründlichen Studium der Funktionen formulierte er eine klare Definition des Funktionsbegriffs und entwickelte die Analysis als eine Lehre von den Funktionen, rückte den Funktionsbegriff also in den Mittelpunkt der Betrachtungen. Wichtigstes Mittel zur Darstellung und Untersuchung von Funktionen waren Potenzreihen. So stellte er die Potenzreihenentwicklung für die elementaren Funktionen auf und leitete durch z.T. virtuoses Rechnen mit den Reihen wichtige Eigenschaften der Funktionen und Beziehungen zwischen ihnen ab, etwa die nach ihm benannte Relation eix = cos x + i sin x (1743). Man muß jedoch beachten, daß die Mathematiker des 18. Jahrhunderts, auch Euler, zwar zwischen konvergenten und divergenten Reihen unterschieden, aber keine allgemeine Grenzwerttheorie besaßen und durch teilweise intuitiven Gebrauch divergenter Reihen richtige Ergebnisse erzielten.

Als weitere Formen zur Darstellung von Funktionen benutzte Euler auch unendliche Produkte und Reihen von Partialbrüchen, Verfahren, die im 19. Jahrhundert wesentlich weiterentwickelt wurden. Doch Euler hat auch die Kenntnisse über transzendente Funktionen wesentlich bereichert. Die von ihm analysierten Beta- und Γ-Funktionen (Eulersche Γ-Funktion), die ζ-Funktion und die heute als Bessel-Funktionen bekannten Funktionen gehören zu den wichtigsten transzendenten Funktionen. Von allen enthüllte Euler zahlreiche Eigenschaften und wurde einer der Begründer des Studiums spezieller Funktionen.

Verschiedene Fragestellungen führten Euler zur Betrachtung komplexer Zahlen. Etwa zeitgleich mit d’Alembert, aber unabhängig von diesem, gab er< ?PageNum _89 mehrere Anwendungen der Funktionen einer komplexen Variablen und kam zu ersten Ergebnissen über analytische Funktionen. Doch obwohl er geschickt mit verschiedenen Darstellungen komplexer Zahlen umging, sah er in den imaginären Zahlen nur eine formale Bildung zur Vereinfachung der Rechnungen ohne reale Bedeutung. Wie d’Alembert folgerte er (in moderner Terminologie formuliert) die algebraische Abgeschlossenheit der Menge der komplexen Zahlen (1751) und leitete die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ab. Beide Mathematiker formulierten und bewiesen auch den Fundamentalsatz der Algebra, die Beweise waren jedoch noch lückenhaft.

Grundlegende Fortschritte gelangen Euler bei der Lösung von Differentialgleichungen. So löste er homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe des Ansatzes y = eλx, und die zugehörige inhomogene Gleichung mit der Methode des integrierenden Faktors. Er formulierte notwendige Bedingungen für die Existenz eines totalen Differentials und schuf 1768 mit seiner Polygonzugmethode ein Verfahren zur numerischen Lösung der Gleichung y′ = f (x,y) bei vorgegebenen Anfangswerten y(x0) = y0, das er dann auf Gleichungen zweiter Ordnungen ausdehnte. Auch die Methode der Variation der Konstanten findet sich in Ansätzen bei Euler (1741).

Umfangreiche Forschungen führte er zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen durch, meist verbunden mit der Untersuchung physikalischer Probleme. Eine für die Mathematikentwicklung äußerst anregende Frage war die Untersuchung der schwingenden Saite. Bezüglich der Lösung der zugehörigen Differentialgleichung kam es zu einem längeren Streit zwischen Euler, d’Alembert und D. Bernoulli, aus dem sich letztlich das Problem herauskristallisierte, welche Funktionen durch trigonometrische Reihen darstellbar sind. Diese Fragestellung spielte in Verbindung mit der Theorie der Fourier-Reihen im 19. Jahrhundert eine wichtige Rolle bei der Präzisierung von Grundbegriffen der Analysis, wie Funktion und Integral, und war ein Ausgangspunkt für die Schaffung der Mengenlehre.

Ein völlig neues Gebiet innerhalb der Analysis schuf Euler mit der Variationsrechnung. Zwar wurden auch vor Euler Variationsprobleme gelöst, doch stellte er die Theorie von einheitlichen Gesichtspunkten her dar und begründete sie als eigenständiges Teilgebiet. Er formulierte das allgemeine Variationsproblem F(x, y, y′)dx → Extremum mit einer gegebenen Funktion F und leitete die nach ihm benannte notwendige Bedingung für eine Extremale y(x) ab.

In den 60er Jahren gab Euler der von Lagrange entwickelten Methode zur Behandlung von Variationsproblemen eine klare Darstellung, übernahm dabei auch die Lagrangesche Bezeichnungsweise und demonstrierte an zahlreichen Beispielen die Anwendung der Methoden der Variationsrechnung. Zu diesen Anwendungen zählen auch eine Formulierung des Prinzips der kleinsten Aktion, die Behandlung der Schwingungen von Membranen und die Herleitung der Knicklastformel in der Elastizitätstheorie, die er bereits 1744 angegeben hatte (Eulersche Knicklast).

In der Mechanik ist mit dem Namen Eulers eine völlige Umgestaltung des Gebietes verbunden. Durch die systematische Anwendung der Analysis verlieh er den genialen Ideen Newtons eine neue Form und machte sie besser handhabbar. In den Mittelpunkt rückte er die als Differentialgleichung formulierte Bewegungsgleichung eines Körpers, aus der dann alles weitere analytisch abgeleitet wurde. Die zuvor von Newton und anderen verwendete synthetisch-geometrische Darstellung der Mechanik war schwerfällig und erforderte für viele Probleme eine separate Lösung. Fast dreißig Jahre später, 1765, hat Euler erneut eine analytische Ausarbeitung der Mechanik vorgelegt, dabei seine Ideen auf Massepunktsysteme und starre Körper übertragen und sich insbesondere dem Studium von Rotationsbewegungen gewidmet (Kreiseltheorie).

Eine umfassende Anwendung seiner Erkenntnisse zur Mechanik wie zur Theorie der Differentialgleichungen demonstrierte Euler in der Astronomie bei der mathematischen Beschreibung der Planetenbewegungen. Er beschäftigte sich mit der Bestimmung der Kometen- bzw. Planetenbahnen aus wenigen Beobachtungen, studierte insbesondere die Bewegung von Saturn und Jupiter einschließlich deren Störungen, gab Methoden zur Berechnung der Sonnenparallaxe an und diskutierte den Einfluß des kosmischen Äthers auf die Planetenbewegung. Intensiv behandelte er die Mondbewegung und fand in seiner ersten Mondtheorie von 1751 (publiziert 1753) ein gute Näherungslösung für das Drei-Körper-Problem. Er bestätigte damit ein von Clairaut vorgelegtes Resultat, das die zeitweilig aufgekommenen Zweifel an der Newtonschen Gravitationstheorie entkräftete.

Ein anderes Gebiet, das Euler mit zahlreichen Anwendungen verknüpfte, war die Geometrie. Viele seiner Entdeckungen auf diesen Gebiet erzielte er durch die Anwendung analytischer bzw. algebraischer Methoden. In den Lehrbüchern zur Analysis präsentierte er u. a. eine detaillierte Analyse der Kurven zweiter Ordnung, die er dann auf Kurven dritter Ordnung übertrug. Neben der analytischen Ausarbeitung der sphärischen Trigonometrie sind vor allem die differentialgeometrischen Untersuchungen von Kurven und Flächen< ?PageNum _90 hervorzuheben, wo er speziell beim Studium der Krümmung von Flächen ab 1763 wichtige Fortschritte erreichte. Zwei weitere Einzelergebnisse, die Lösung des Königsberger Brückenproblems und die nach ihm benannte Polyederformel sind heute Bestandteil der Graphentheorie bzw. der kombinatorischen Topologie.

Wie viele andere Mathematiker auch hatte Euler ein besonderes Interesse an zahlentheoretischen Fragen. Ausführlich beschäftigte er sich mit den von Fermat hinterlassenen ungelösten Problemen. Umfangreiche Studien zur Teilbarkeitslehre führten Euler zu drei verschiedenen Beweisen des sog. kleinen Fermatschen Satzes, den er in Verbindung mit seinem dritten Beweis 1763 durch die Einführung der nach ihm benannten Funktion φ verallgemeinerte (Eulersche φ-Funktion).

Höhepunkt all der Teilbarkeitsuntersuchungen war 1783 die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, für das Euler allerdings keinen Beweis angab und das von Zeitgenossen unbeachtet blieb. Auch am Beweis des Großen Fermatschen Satzes hat sich Euler versucht und war 1753 für der Fall n = 3 erfolgreich. Die von ihm benutzten Methoden lieferten wichtige Anregungen bei der Herausbildung der algebraischen Zahlentheorie. Eng damit verbunden waren Eulers Studien zu diophantischen Gleichungen und zur Darstellung von Zahlen durch binäre quadratische Formen mit ganzzahligen Koeffizienten. Euler bereicherte diesbezüglich die Zahlentheorie um neue Lösungsmethoden und schuf erste wichtige Ansätze für die allgemeine Theorie der binären quadratischen Formen. Mehrfach hat Euler sich mit der Umwandlung unendlicher Produkte in Reihen befaßt und diese Ergebnisse zur Lösung zahlentheoretischer Fragen benutzt, etwa um die Frage nach der Anzahl der möglichen Partitionen einer natürlichen Zahl n in positive Zahlen zu beantworten.

Eulers Beschäftigung mit der ζ-Funktion begann 1735, als er das nahezu spektakuläre Ergebnis verkündete, die der ζ-Funktion entsprechende Reihe \(\displaystyle {\sum }_{s=1}^{\infty }{n}^{-s}\) für s = 2 und weitere geraden Zahlen summieren zu können. In den folgenden Jahren bestimmte er die Funktionalgleichung der ζ-Funktion, die schon erwähnte Produktdarstellung (1737) und kam zu einigen Verallgemeinerungen. Weitere wichtige Ergebnisse betreffen Aussagen über Primzahlen, wo er z. B. die Fermatsche Primzahl als zusammengesetzte Zahl erkannte, und die Theorie transzendenter Zahlen.

Viele der Eulerschen Erkenntnisse könnten noch genannt werden, z. B. in der Hydromechanik, in der er den Begriff der idealen Flüssigkeit einführte und die Bewegung einer solchen Flüssigkeit im Raum in Gleichungen erfaßte. In mehreren Gebieten reichten seine Ergebnisse bis zu einer möglichen technischen Umsetzung.

Obwohl Euler nie an einer Universität lehrte, wurde er vor allem durch seine zahlreichen Lehrbücher von vielen Mathematikern der nachfolgenden Generationen als ihr Lehrmeister angesehen. Mit den Lehrbüchern begründete er jenen neuen Typ der systematischen Darstellung, die von den einfachen Grundlagen bis zu den Problemen der Forschung hinleitet und die dann zum Standard wurde.

Ausdruck der Vielseitigkeit und der Schöpferkraft Eulers sind die zahlreichen Begriffe, Verfahren und Sätze, die mit seinem Namen verbunden sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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