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Lexikon der Mathematik: Euler-Maclaurinsche Summenformel

stellt eine Verbindung her zwischen den Werten einer genügend glatten reellen Funktion f in endlich vielen diskreten Punkten eines Intervalls, und dem Integral dieser Funktion über dem Intervall.

Ist f im Intervall [0, m] (2r + 1)–mal stetig differenzierbar, so gilt die Beziehung \begin{array}{l}\frac{1}{2}f(0)+\displaystyle \sum _{v=1}^{m-1}f(v)+\frac{1}{2}f(m)=\\ \quad =\displaystyle \underset{0}{\overset{m}{\int }}f(x)dx+\displaystyle \sum _{\mu =1}^{r}{c}_{\mu }(f)+{R}_{r}(f)\end{array} mit Koeffizienten der Form \begin{eqnarray}{c}_{\mu }(f)={B}_{\mu }({f}^{(2\mu -1)}(m)-{f}^{(2\mu -1)}(0)),\end{eqnarray}wobei Bμ ∈ ℝ die Bernoullischen Zahlen sind, und einem explizit angebbaren Restglied Rr(f).

Die Euler-Maclaurinsche Summenformel ist das Hauptinstrument beim Nachweis der Existenz einer asymptotischen Entwicklung für die Trapezregel. Sie liefert somit die theoretische Rechtfertigung für die Tatsache, daß man durch Anwendung von Extrapolation die Güte der Trapezregel nachhaltig verbessern kann (Romberg-Verfahren).

[1] Walz, G.: Asymptotics and Extrapolation. Akademie-Verlag Berlin, 1996.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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