Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Euler-Poincaré-Charakteristik

Kennzahl einer Garbe über einem Raum, die im folgenden eingeführt wird.

Sei X ein parakompakter topologischer Raum, \({\mathbb{K}}\) ein Körper und \( {\mathcal F} \) eine Garbe von \({\mathbb{K}}\)-Vektorräumen. Die Kohomologiegruppen \({H}^{q}(X,\space {\mathcal F} )\) sind dann \({\mathbb{K}}\)-Vektorräume.

\( {\mathcal F} \) erfülle die folgenden Endlichkeitseigenschaften (F)

  1. dim \({H}^{q}(X,\space {\mathcal F} )\lt \infty \) für alle q,
  2. \({H}^{q}(X,\space {\mathcal F} )=0\) für q >> 0.

Unter diesen Voraussetzungen ist die Euler-Poincaré-Charakteristik (der Garbe \( {\mathcal F} \) über dem Raum X) definiert als \begin{eqnarray}\chi (X,{\mathscr{F}})=\displaystyle \sum _{q=0}^{\infty }{(-1)}^{q}\dim {H}^{q}(X,{\mathscr{F}}).\end{eqnarray}

Als Spezialfall ergibt sich für \({\mathbb{K}}\space \text{=}\space {\mathbb{R}}\space \text{=} {\mathcal F} \) die Eulersche Charakteristik \begin{eqnarray}\chi (X)=\displaystyle \sum _{q=0}^{\infty }{(-1)}^{q}{b}^{q}(X)\end{eqnarray} mit bq(X) = dim Hq(X, ℝ), der q-ten Betti-Zahl.

Die Euler-Poincaré-Charakteristik ist von fundamentaler Bedeutung. Ist etwa X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension n und E ein holomorphes Vektorbündel (d. h. eine lokalfreie Garbe vom endlichen Rang), so ist die Bedingung (F) erfüllt. Genauer gilt dann (über ℂ) \begin{eqnarray}\chi (X,E)=\displaystyle \sum _{q=0}^{n}{(-1)}^{q}\dim {H}^{q}(X,E),\end{eqnarray} und der Satz von Riemann-Roch-Hirzebruch drückt χ(X, E) unter Benützung topologischer Klassen aus. Noch genauer gilt mit dem Chern-Charakter ch(E) des Bündels E und der Todd-Klasse td(X) der Mannigfaltigkeit \begin{eqnarray}\chi (X,E)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{X}{(\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X))}_{n}.\end{eqnarray}

Hierbei bezeichnet (…)n den homogenen Anteil vom Grad n des Produkts der Klassen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos