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Lexikon der Mathematik: Euler-Polynome

die über die erzeugende Funktion \begin{eqnarray}\frac{2{e}^{xt}}{{e}^{t}+1}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{E}_{n}(x)\frac{{t}^{n}}{n!}\end{eqnarray} definierten Polynome En(x).

Die Euler-Polynome erfüllen die Relationen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{(-1)}^{m-k}{k}^{n}=\frac{{E}_{n}(m+1)-{(-1)}^{m}{E}_{n}(0)}{2};\end{eqnarray}< ?PageNum _93 ferner gelten folgende Formeln für die Ableitung und die Entwicklung um einen Punkt: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}{E}_{n}^{^{\prime} }(x) & = & n{E}_{n-1}(x)\space (n\ge 1),\\ {E}_{n}(x+h) & = & \displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right){E}_{k}(x){h}^{n-k}.\end{array}\end{eqnarray}

Es gelten die folgenden Symmetrierelationen und Multiplikationsformeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}2{x}^{n} & = & {E}_{n}(x)+{E}_{n}(x+1),\\ {E}_{n}(1-x) & = & {(-1)}^{n}{E}_{n}(x),\\ {E}_{n}(mx) & = & {m}^{n}\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{(-1)}^{k}{E}_{n}\left(x+\frac{k}{m}\right)\\ & & \space \text{falls}\space \space m\space \text{ungerade,}\\ {E}_{n}(mx) & = & -\frac{2{m}^{n}}{n+1}\displaystyle \sum _{k=0}^{m-1}{(-1)}^{k}{B}_{n+1}\left(x+\frac{k}{m}\right)\\ & & \space \text{falls}\space \space m\space \text{gerade}\text{.}\end{array}\end{eqnarray}

Hierbei bezeichnen Bn(x) die Bernoulli-Polynome. Ferner hat man folgende Integralbeziehungen: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}{E}_{n}(t)dt & = & \frac{{E}_{n+1}(x)-{E}_{n+1}(a)}{n+1},\\ \displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_{n}(t){E}_{m}(t) & = & {(-1)}^{n}4\cdot ({2}^{m+n+2}-1).\\ & & \frac{m!n!}{(m+n+2)!}{B}_{m+n+2}(0).\end{array}\end{eqnarray}

Einige spezielle Funktionswerte sind: \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}{E}_{2n+1}=0, & & \\ {E}_{n}(0)=-{E}_{n}(1) & = & -2\frac{{2}^{n+1}-1}{n+1}{B}_{n+1},\space n\ge 1,\\ {E}_{n}(\frac{1}{2}) & = & {2}^{-n}{E}_{n},\\ {E}_{2n-1}(\frac{1}{3}) & = & -{E}_{2n-1}(\frac{2}{3}),\\ & = & -\frac{1-{3}^{1-2n}}{2n}({2}^{1n-1}){B}_{2n}(0).\end{array}\end{eqnarray}

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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