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Lexikon der Mathematik: Euler-Produkt

die Darstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \prod _{p}\frac{1}{1-{p}^{-s}}, \end{array}\end{eqnarray} wobei sich das Produkt über alle Primzahlen p erstreckt.

Aufgrund der Eulerschen Identität \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{s}}=\displaystyle \prod _{p}\frac{1}{1-{p}^{-s}}\end{eqnarray} stellt (1) die Riemannsche ζ-Funktion fur reelles Argument s > 1 dar.

Euler erwähnte diese Produktdarstellung in seiner „Introductio in analysin infinitorum“ für reelle Werte von s und wandte sie insbesondere auf den interessanten Fall s = 1 an.

Aus der Divergenz der harmonischen Reihe schloß er damit auf die Divergenz des Produkts \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{p}\frac{1}{1-{p}^{-1}},\end{eqnarray} woraus er die bemerkenswerte Gleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{p}\frac{1}{p}=\mathrm{log}\mathrm{log}\infty \end{array}\end{eqnarray} gewann; die Summe ist hierbei über alle Primzahlen p zu erstrecken.

Aus Eulers Überlegungen läßt sich durchaus ein Beweis (im modernen Sinn) der Divergenz der Summe gewinnen. Eulers Gleichung (2) ist interessant, da sie die Divergenzgeschwindigkeit richtig angibt.

Mit Hilfe des Primzahlsatzes kann man beweisen, daß die Summe der Kehrwerte der ersten n Primzahlen für n → ∞ asymptotisch gleich log log n ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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