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Lexikon der Mathematik: Eulersche Darstellung von Cosinus und Sinus

Darstellung der Cosinus- und Sinusfunktion durch unendliche Produkte.

Für z ∈ ℂ gilt \begin{eqnarray}\sin \pi z=\pi z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left (1-\frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}\right)\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\cos \pi z=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{4{z}^{2}}{{(2n-1)}^{2}}\right).\end{eqnarray}

Durch Einsetzen spezieller Werte für z im Sinusprodukt ergeben sich einige interessante Formeln. Für \(z=\frac{1}{2}\) erhält man die Wallissche Produktformel \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}\frac{\pi }{2} & = & \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \\ & = & \displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1}.\end{array}\end{eqnarray}

Im Fall z = 1 entsteht die Gleichung \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-\frac{1}{{n}^{2}}\right)=\frac{1}{2}.\end{eqnarray}

Hingegen folgt für z = i \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{{n}^{2}}\right)=\frac{1}{\pi }\sinh \pi.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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