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Lexikon der Mathematik: Eulersche Folge

eine Polynomfolge {pn, n ∈ ℕ0} mit p0 ≡ 1 und \begin{eqnarray}{p}_{n}(xy)=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}_{q}{p}_{k}(x){y}^{k}{p}_{n-k}(y)\end{eqnarray} für alle x, y ∈ ℝ und n ∈ ℕ0, wobei \({\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)}_{q}\) die Gaußschen Koeffizienten für eine Primpotenz q sind.

Ein Operator P auf ℝ[x] heißt Euler-Operator, falls \begin{eqnarray}{E}^{a}P={q}^{-a}P{E}^{a}\end{eqnarray} für alle a ∈ ℝ, und Pxn ≠ 0 für alle n ∈ ℕ, wobei Ea die Euler-Translation ist. Ein Operator P auf ℝ[x] ist der zu der Eulerschen Folge {pn, n ∈ ℕ0} gehörender Basisoperator, falls \begin{eqnarray}Pp=({q}^{n}-1){p}_{n-1}.\end{eqnarray}

Die Folge {pn, n ∈ ℕ0} ist die zu P gehörende Basisfolge. Der Basisoperator einer Eulerschen Folge ist ein Euler-Operator. Zu jedem Euler-Operator existiert eine eindeutige Basisfolge.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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