Methoden der Analysis, um Integrale der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \int R\left(x,\sqrt{\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma }\right)\space dx\end{eqnarray}<?PageNum _100 mit einer rationalen Funktion R (von zwei Variablen) und reellen Konstanten α ≠ 0, β, γ auf die Integration rationaler Funktionen (in τ) zurückzuführen. Man unterscheidet drei Typen solcher Substitutionen:

Erste Eulersche Substitution: Ist α > 0, dann setzt man \begin{eqnarray}\sqrt{\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma }=\tau -x\sqrt{a}.\end{eqnarray}

Zweite Eulersche Substitution: Zerfäällt \begin{eqnarray}\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma =\alpha (x-{x}_{1})(x-{x}_{2})\end{eqnarray} mit reellen Zahlen x₁ ≠ x₂, so substituiert man \begin{eqnarray}\sqrt{\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma }=\tau (x-{x}_{1}).\end{eqnarray}

Dritte Eulersche Substitution: Für γ > 0 fuhrt die Substition \begin{eqnarray}\sqrt{\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma }=\sqrt{\gamma }+x\tau \end{eqnarray} zum Ziel.

Durch diese Substititionen können x und \(\sqrt{\alpha {x}^{2}+\beta x+\gamma }\) jeweils rational durch die neue Variable τ ausgedrückt werden.