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Lexikon der Mathematik: Eulersches Kriterium

gibt eine äquivalente Bedingung dafür, ob eine ganze Zahl c ein quadratischer Rest modulo einer ungeraden Primzahl p ist oder nicht:

Für jede ganze Zahl c und jede ungerade Primzahl p mit p + c gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\left(\displaystyle \frac{c}{p}\right)\equiv {c}^{(p-1)/2} & \mathrm{mod}\,p,\end{array}\end{eqnarray}

wobei der Ausdruck auf der linken Seite auch als das Legendre-Symbol bezeichnet wird: \begin{eqnarray}\left(\frac{c}{p}\right)=\left\{\begin{array}{cc}+1, & \text{falls}\,c\,\text{quadrat}\text{. Rest mod}\,p\text{,}\\ -1, & \text{falls}\,c\,\text{quadrat}\text{. Nichtrest mod}\,p\text{.}\end{array}\right.\end{eqnarray}

Euler publizierte dieses Resultat ca. 1760, nachdem er es ca. zehn Jahre zuvor angekündigt hatte.

Eine unmittelbare Folgerung des Eulerschen Kriteriums ist der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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