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Lexikon der Mathematik: Evolutionsgleichung

abstraktes System gewöhnlicher Differentialgleichungen der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{u}_{t}-A(t)u=f, & u(0)=g,\end{array}\end{eqnarray}

bei dem A(t) selbst ein durch t parametrisierter linearer Operator ist.

Für einen allgemeinen Banachraum B mit linearem Unterraum D und einer reellen Konstanten T > 0 seien L(D, B) die Menge der linearen Abbildungen von D nach B, f : [0, T] → B eine stetige Funktion, gB und A : [0, T] → L(D, B).

Gesucht wird dann eine Funktion u : [0, T] → B, die obiger Gleichung genügt mit \begin{eqnarray}{u}_{t}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{h\to 0}\frac{u(t+h)-u(t)}{h}\end{eqnarray}

in B.

Mit Evolutionsgleichungen lassen sich einige Klassen partieller Differentialgleichungen in einheitlicher Weise darstellen. Beispielsweise kann man für die Wellengleichung \begin{array}{l}{\upsilon }_{tt}-{\upsilon }_{xx}=r,\\ \upsilon (x,0)={\upsilon }_{0},{\upsilon }_{t}(x,0)={\upsilon }_{1},\upsilon (\pm 1,t)=0\end{array}

die folgenden Definitionen verwenden, um obige Form zu erreichen: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{R}_{0}:=\{f\in {C}^{0}([-1,1])|f(\pm )=0\},\\ {R}_{2}:={R}_{0}\cap {C}^{2}([-1,1]),\\ B:={R}_{0}\times {R}_{0},D:={R}_{2}\times {R}_{0},\\ g:=\left(\begin{array}{c}{v}_{0}\\ {v}_{1}\end{array}\right),f:=\left(\begin{array}{c}0\\ r\end{array}\right),\\ A:=\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\ \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}} & 0\end{array}\right).\end{array}\end{eqnarray}

Die Form der Evolutionsgleichungen erlaubt die Definition von einheitlichen Diskretisierungsverfahren. Zunächst ersetzt man die Ableitung nach t durch Differenzenquotienten, und dann den Operator A durch einen geeigneten Differenzenoperator.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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