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Lexikon der Mathematik: exakte Differentialgleichung

spezielle gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung.

Es sei G ⊂ ℝ2 ein Gebiet und g, h : G →ℝ stetige Funktionen. Die Differentialgleichung der Form \begin{eqnarray}g(x,y)+h(x,y){y}{^{\prime} }=0\end{eqnarray}

für (x, y) ∈ G heißt exakt, wenn eine stetig differenzierbare Funktion F : G → ℝ, genannt Stammfunktion der exakten Differentialgleichung, existiert mit \begin{eqnarray}\frac{\partial }{\partial x}F(x,y)=g(x,y)\,\,\text{und}\,\,\frac{\partial }{\partial y}F(x,y)=h(x,y)\end{eqnarray}

für alle (x, y) ∈ G.

Durch Auflösen der Gleichung F(x, y) = c (c ∈ ℝ) erhält man die Lösungen der exakten Differentialgleichung.

Zur Prüfung der Exaktheit einer Differentialgleichung oben genannter Form verwendet man häufig den folgenden Satz:

Ist G ⊂ ℝ2ein einfach zusammenhängendes Gebiet, und sind g, h : G → ℝ stetig differenzierbare Funktionen, so gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc} & g(x,y)+h(x,y){y}{^{\prime} }=0 & ist\,\,\text{}exakt\\ \iff & \frac{\partial }{\partial y}g(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}h(x,y). & \end{array}\end{eqnarray}

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner Stuttgart, 1995.


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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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