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Lexikon der Mathematik: exakte Kohomologiesequenz

Anwendung des Kofunktors Hq (−; G) auf Kettenkomplexe, wobei G eine feste abelsche Gruppe ist. Es sei \begin{eqnarray}0\to {C}{^{\prime} }\mathop{\to }\limits^{f}C\mathop{\to }\limits^{g}{C}{^{\prime\prime} }\to 0\end{eqnarray}

eine exakte Sequenz von Kettenkomplexen, wobei zusätzlich vorausgesetzt werde, daß C ein freier Kettenkomplex ist. Dann ist die Sequenz \begin{array}{l}0\to \text{Hom}({{C}{^{\prime\prime} }}_{q},G)\tilde{\to }\text{Hom}({C}_{q},G)\tilde{\to }\\ \tilde{\to }\text{Hom}({{C}{^{\prime} }}_{q},G)\to 0\end{array}

exakt (exakte Sequenz). Mit der Neubezeichnung \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}{D}_{-q} & = & \text{Hom}({C}_{q},G), & {{D}{^{\prime} }}_{-q}:=\text{Hom}({{C}{^{\prime} }}_{q},G),\\ {{D}{^{\prime\prime} }}_{-q} & = & \text{Hom}({{C}{^{\prime\prime} }}_{q},G) & \end{array}\end{eqnarray}

erhält man also eine exakte Sequenz von Kettenkomplexen \begin{eqnarray}0\to {D}^{^{\prime\prime} }\tilde{\to }D\tilde{\to }{D}^{^{\prime} }\to 0,\end{eqnarray}

wobei die Randoperatoren hier die dualen Homo-morphismen zu den Randoperatoren von C, C, C seien. Zu dieser exakten Sequenz gehört eine exakte Homologiesequenz. Weil jedoch Hq (D) = Hq (C; G) usw. gilt, sieht diese Sequenz so aus: \begin{array} \text\ldots \mathop{\to }\limits^{\delta * }{H}^{q}\,({C}{^{\prime\prime} };G)\mathop{\to }\limits^{g* }){H}^{q}\,(C;G)\mathop{\to }\limits^{f* }{H}^{q}({C}{^{\prime} };G)\\ \mathop{\to }\limits^{\delta * }{H}^{q+1}({C}{^{\prime\prime} };G)\mathop{\to }\limits^{g* }\ldots \end{array}

Dabei ist δ der verbindende Homomorphismus, der zu der Sequenz (1) gehört. Es liegt also eine exakte Kohomologiesequenz vor.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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