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Lexikon der Mathematik: Existenz des Integrals

eine der grundlegenden Fragestellungen der Analysis.

Die Existenz des Integrals – als Riemann-Integral – ist zumindest gesichert, falls f : [a, b] → ℝ stetig ist (mit −∞ < a < b < ∞). Dies folgt ganz leicht aus der – hier gegebenen – gleichmäßigen Stetigkeit von f.

Aufwendiger ist der Beweis der allgemeineren Aussage:

Eine Funktion f : [a, b] → ℝ ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie beschränkt und fast überall stetig ist, d. h. die Menge der Unstetigkeitspunkte von f eine Nullmenge im Lebesgueschen Sinne ist.

Damit hat man die Existenz des Integrals z. B. auch für stückweise stetiges und für stückweise monotones f.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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