Aussagen über die Lösbarkeit und eindeutige Lösbarkeit von mathematischen Problemen verschiedenster Art, etwa Approximations- oder Optimierungsproblemen sowie von gewöhnlichen Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen bzw. den entsprechenden Anfangswertproblemen.

Wir erläutern exemplarisch den zuletzt genannten Fall etwas näher. Für die Existenz einer lokalen Lösung der Differentialgleichung \begin{eqnarray}{y}^{(n)}={f}(x,y,{y}{^{\prime} },\ldots, {y}^{(n-1)})\end{eqnarray}

bzw. des Differentialgleichungssystems \begin{eqnarray}{{\bf{y}}}^{^{\prime} }=f(x,{\bf{y}})\end{eqnarray}

genügt die Stetigkeit der rechten Seite, also der Abbildung f. Genau das ist i.w. die Aussage des Existenzsatzes von Peano.

Eine Aussage über die Existenz einer Lösung des allgemeinen Anfangswertproblems \begin{eqnarray}{{\bf{y}}}{^{\prime} }=f(x,{\bf{y}})\,\,\,\,\,{\bf{y}}({x}_{0})={{\bf{y}}}_{0}\end{eqnarray}

in einer Umgebung um den Anfangswert x₀ liefert der lokale Existenzsatz:

Seien a, b > 0, x₀ ∈ ℝ, y₀ ∈ ℝⁿ, \begin{eqnarray}G:=\{(x,{\bf{y}})\in {{\mathbb{R}}}^{n+1}||x-{x}_{0}|\le a,\Vert {\bf{y}}-{{\bf{y}}}_{0}\Vert \le b\},\end{eqnarray}

f ∈ C⁰(G, ℝⁿ), \(M:=\mathop{\max }\limits_{(x,y)\in G}\{\Vert f(x,{\bf{y}}))\Vert \}\)und \(\begin{eqnarray}\varepsilon :\min \left\{a,\frac{b}{M}\right\}\end{eqnarray}\).

Dann hat das Anfangswertproblem (2) mindestens eine Lösung \begin{eqnarray}{\bf{y}}=[{x}_{0}-\varepsilon, {x}_{0}+\varepsilon ]\to {{\mathbb{R}}}^{n}.\end{eqnarray}

Die Existenz einer maximal fortgesetzten Lösung des Anfangswertproblems (2) liefert der globale Existenzsatz:

Sei G ⊂ ℝⁿ⁺¹ein Gebiet, f ∈ C⁰(G, ℝⁿ) und (x₀, y₀) ∈ G. Dann besitzt das Anfangswertproblem (2) eine maximal fortgesetzte Lösung.

Diese Sätze liefern bisher lediglich die bloße Existenz von Lösungen und machen keine Aussage über deren Eindeutigkeit.

Um eindeutig bestimmte Lösungen zu erhalten, müssen Zusatzbedingungen gestellt werden, genau das geschieht in den verschiedenen Eindeutigkeitssätzen. Der bekannteste von ihnen ist der von Picard-Lindelöf, welcher in Kurzform besagt:

Falls die rechte Seite des Differentialgleichungs-systems (1), also f, bezüglich y einer Lipschitz-Bedingung genügt, so besitzt es eine eindeutig bestimmte Lösung.

Dieser Satz liefert mit etwas genaueren Voraussetzungen auch den lokalen Eindeutigkeitssatz, der wie oben die Existenz einer eindeutig bestimmten lokalen Lösung des Anfangswertproblems (2) garantiert, sowie den globalen Eindeutigkeitssatz, der die Existenz und Eindeutigkeit einer maximal fortgesetzten Lösung von (2) liefert.

Eine entsprechende Aussage über die eindeutige Lösbarkeit des Problems (2) in einem Gebiet in ℂ liefert der Existenz- und Eindeutigkeitssatz im Komplexen.

[1] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.

[2] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1972.

[3] Wüst, R.: Höhere Mathematik für Physiker, Teil 2. Walter de Gruyter Berlin, 1995.