Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Existenz von Lösungen eines linearen Gleichungs-systems

eine der zentralen Frage bei der Lösung linearer Gleichungssysteme.

Das lineare Gleichungssystem \begin{eqnarray}Ax=b\end{eqnarray}

mit der (m × n)-Matrix A über \(\begin{eqnarray}{\mathbb{K}}\end{eqnarray}\), dem gesuchten Vektor x ∈ \(\begin{eqnarray}{\mathbb{K}^n}\end{eqnarray}\) und dem Vektor b ∈ \(\begin{eqnarray}{\mathbb{K}^n}\end{eqnarray}\) ist genau dann lösbar, wenn die Rangbedingung (1) erfüllt ist: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\text{Rg}A=\text{Rg}(A|b).\end{array}\end{eqnarray}

(Rang einer Matrix.) Dabei bezeichnet (A|b) die (m×(n+1))-Matrix, die durch Hinzufügen des Vektors b als (n + 1)-te Spalte zur Matrix A entsteht.

Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn Bedingung (2) erfüllt ist: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\text{Rg}A=\text{Rg}(A|b)=n.\end{array}\end{eqnarray}

Die Lösungsgesamtheit (d. h. die Menge aller Lösungen) eines homogenen Gleichungssystems \begin{eqnarray}Ax=0\end{eqnarray}

bildet einen Untervektorraum von \(\begin{eqnarray}{\mathbb{K}^n}\end{eqnarray}\), die eines inhomogenen Systems Ax = b einen affinen Unterraum von \(\begin{eqnarray}{\mathbb{K}^n}\end{eqnarray}\).

Dieser ist entweder leer, oder gegeben durch a+U mit einer speziellen Lösung a, d. h. Aa = b, und dem Lösungsraum U des zugeordneten homogenen Systems Ax = 0.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos