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Lexikon der Mathematik: explizite Flächengleichung

eine Parameterdarstellung einer Fläche der Form \begin{eqnarray}\Phi (u,\upsilon )=(u,\upsilon, f(u,\upsilon )).\end{eqnarray}

Explizite Flächengleichungen sind stets regulär. Sie beschreiben Graphen von differenzierbaren Funktionen z = f(x, y).

Die Koeffizienten der ersten Gaußschen Fundamentalform einer expliziten Flächengleichung haben die Form \(E=1+{f}_{u}^{2}\), F = fu fv, \(G=1+{f}_{\upsilon }^{2}\). Die zweite Gaußsche Fundamentalform ist durch \begin{eqnarray}\text{II}=\frac{1}{\sqrt{1+{\text{f}}_{\text{u}}^{2}+{\text{f}}_{\text{v}}^{2}})}\left(\begin{array}{cc}{f}_{uu} & {f}_{u\upsilon }\\ {f}_{\upsilon u} & {f}_{\upsilon \upsilon }\end{array}\right)\end{eqnarray}

gegeben. Für die Gaußsche Krümmung k und die mittlere Krümmung h erhält man die Ausdrücke \begin{eqnarray}\begin{array}{l} k & = & \frac{{f}_{uu}{f}_{\upsilon \upsilon }-{f}_{u\upsilon }^{2}}{{(1+{f}_{u}^{2}+{f}_{\upsilon }^{2})}^{2}},\\ h & = & \frac{(1+{f}_{\upsilon }^{2}){f}_{uu}-2{f}_{u}{f}_{\upsilon }{f}_{u\upsilon }+(1+{f}_{u}^{2}){f}_{\upsilon \upsilon }}{2{(1+{f}_{u}^{2}+{f}_{\upsilon }^{2})}^{3/2}}.\end{array}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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