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Lexikon der Mathematik: Exponentialansatz

Eulerscher Ansatz, Lösungsansatz y(x) = eλx für homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ai, also für Differentialgleichungen vom Typ \begin{eqnarray}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +{a}_{1}{y}{^{\prime} }+{a}_{0}y=0.\end{eqnarray}

Einsetzen des Exponentialansatzes y(x) = eλx in die Differentialgleichung (1) liefert \begin{eqnarray}{\lambda }^{n}{e}^{\lambda x}+{a}_{n-1}{\lambda }^{n-1}{e}^{\lambda x}+\cdots +{a}_{1}\lambda {e}^{\lambda x}+{a}_{0}{e}^{\lambda x}=0.\end{eqnarray}

Daraus folgt sofort die charakteristische Gleichung der linearen Differentialgleichung \begin{eqnarray}\chi (\lambda )={\lambda }^{n}+{a}_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +{a}_{1}\lambda +{a}_{0}=0.\end{eqnarray}

Dabei ist χ(λ) das charakteristische Polynom der Differentialgleichung (1), mit dessen Nullstellen sich ein komplexes oder reelles Fundamental-system der homogenen Gleichung (1) angeben läßt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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