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Lexikon der Mathematik: Exponentialfunktion zu allgemeiner Basis

die zu einer Zahl a ∈ (0, ∞), der Basis, durch \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{a}^{x}={\exp }_{a}(x)=\exp (x\,\mathrm{ln}\,a) & (x\in {\mathbb{R}})\end{array}\end{eqnarray}

definierte Funktion expa : ℝ → (0, ∞).

Diese Definition ist konsistent mit der Definition der Potenzen ak für k ∈ ℤ durch iterierte Multiplikation, insbesondere gilt \({a}^{-1}=\frac{1}{a}\), a0 = 1 und a1 = a.

Ferner gilt ex = exp(x) für alle x. Aus der Differenzierbarkeit von exp und der Kettenregel folgt die Differenzierbarkeit von expa, und mit exp′ = exp erhält man die Beziehung \begin{eqnarray}({\exp }_{a}{)}{^{\prime} }=\mathrm{ln}\,a\cdot {\exp }_{a}.\end{eqnarray}

Daher ist die Exponentialfunktion zur Basis a streng antiton für a < 1, konstant für a = 1 und streng isoton für a > 1. Für a < 1 gilt ax → ∞ für x → −∞ und ax → 0 für x → ∞, für a > 1 hat man ax → 0 für x → −∞ und ax → ∞ für x → ∞.

Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion erhält man für a, b ∈ (0, ∞) und x, y ∈ ℝ die Identitäten (ax)y = axy, axbx = (ab)x und \({a}^{-x}=\frac{1}{{a}^{x}}\) sowie die Funktionalgleichung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{a}^{x+y}={a}^{x}\cdot {a}^{y},\end{array}\end{eqnarray}

mit der man unter Beachtung von expa(0) = 1 sieht, daß expa : (ℝ, +) → ((0, ∞), ·) ein Gruppenisomorphismus ist.

Die Exponentialfunktion zu allgemeiner Basis wird durch die Funktionalgleichung charakterisiert: Ist f : ℝ → ℝ stetig an der Stelle 0 und nicht die Nullfunktion, und gilt \begin{eqnarray}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Exponentialfunktion zu allgemeiner Basis
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Exponentialfunktion zu allgemeiner Basis

für alle x, y ∈ ℝ, dann ist f = expa mit a = f(1). Für a ≠ 1 existiert die Umkehrfunktion zu expa, die Logarithmusfunktion zur Basis a. Die Exponentialfunktion zur Basis a ∈ (0, ∞) läßt sich auch für komplexe Argumente durch (1) definieren, und bei Wahl etwa des Hauptzweigs der Logarithmusfunktion kann auch a ∈ ℂ \ (−∞, 0] zugelassen werden. Die damit definierte Exponential-funktion expa : ℂ → ℂ \{0} zur Basis a erfüllt dann wieder (expa)′ = ln a · expa und die Funktionalgleichung (2).

Eigenschaften von exp, wie Periodizität und Abbildungseigenschaften, übersetzen sich zu entsprechenden Eigenschaften von expa.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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