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Lexikon der Mathematik: Extremalpunkt

für eine Funktion f : A → ℝ ein Punkt xA mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)\le f(y) & \forall y\in A\end{array}\end{eqnarray}

(globaler Minimalpunkt) bzw. \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)\ge f(y) & \forall y\in A\end{array}\end{eqnarray}

(globaler Maximalpunkt).

Gelten die obigen Ungleichungen nur lokal um x, so heißt x lokaler Extremalpunkt (lokaler Minimaloder Maximalpunkt).

Gilt weiterhin in einer Umgebung von x für alle yx das strenge Ungleichungszeichen, so heißt x auch isolierter Extremalpunkt.

Ist A ein reelles Intervall, und ist f differenzierbar, so gilt in einem isolierten Extremalpunkt x im Innern von A \begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }(x)=0.\end{eqnarray}

Diese Bedingung ist also notwendig für die Eigenschaft, ein solcher Extremalpunkt zu sein. Sie ist allerdings allein nicht hinreichend, hierfür müssen weitere Bedingungen erfüllt sein, beispielsweise \begin{eqnarray}{f}^{^{\prime\prime} }(x)\gt 0\ (\,\lt 0)\end{eqnarray}

für einen isolierten Minimal- bzw. Maximalpunkt, wobei natürlich hier höhere Differenzierbarkeit von f vorausgesetzt wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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