Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Extremwertstatistik

eine Statistik für das Maximum bzw. Minimum einer Menge von Zufallsgrößen, in der Regel einer Stichprobe.

Sei (X1, …, Xn) eine mathematische Stichprobe einer Zufallsgröße X mit der (nicht notwendigerweise bekannten) Verteilungsfunktion F. Seien \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{W}_{n} & = & \max ({X}_{1},\ldots,{X}_{n})\ \text{und}\\ {V}_{n} & = & \min ({X}_{1},\ldots,{X}_{n})\end{array}\end{eqnarray}

die Extremwerte der Stichprobe.

Die Extremwertstatistik beschäftigt sich mit dem Feststellen bzw. Prüfen der Verteilung von Wn bzw. Vn. Man kann zeigen, daß für n → ∞ die Verteilung von Wn bzw. Vn gegen eine von drei möglichen Typen von Extremwertverteilungen konvergiert. Der Typ hängt von der Verteilungsfunktion F ab. Die jeweils zutreffende Extremwertverteilung hängt noch von Parametern ab. Die Extremwertstatistik beschäftigt sich auch mit der Schätzung dieser Parameter.

Gleichfalls ist Gegenstand der Extremwertstatistik das Schätzen von Werten cu bzw. co, den sogenannten Minimal- bzw. Maximalwerten, für die die Wahrscheinlichkeit des Unter- bzw. Überschreitens \begin{eqnarray}P({V}_{n}\lt {c}_{u})\ \text{bzw}.P({W}_{n}\gt {c}_{0})\end{eqnarray}

sehr gering ist. Die Extremwertstatistik entstand im Zusammenhang mit dem Studium von sogenannten Ausreißern, siehe auch Ausreißerproblem.

Ein Beispiel: In der Wasserwirtschaft interessiert man sich für den maximalen täglichen Wasserstand Xi, i = 1, …, 365 innerhalb eines Jahres an einer bestimmten Stelle des Flusses.

Um Hochwasserschutzmaßnahmen treffen zu können, ist die Aufgabe zu lösen, den Wert co zu

schätzen, der nur mit geringer Wahrscheinlichkeit α (z. B. α = 0.001) vom jährlichen Maximum Wn (n = 365) an dieser Stelle des Flusses überschritten wird.

Um diese Aufgabe zu lösen, wird der Verteilungstyp von Wn bestimmt und die zugehörigen Parameter geschätzt. Der Wert co ist dann das α-Quantil dieser Extremwertverteilung, sagen wir G, und wird folglich durch Lösung der Gleichung G(co) = α berechnet.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos