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Lexikon der Mathematik: Extremwertverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die zu einem der folgenden drei mit Hilfe der Verteilungsfunktion G charakterisierten Typen von Verteilungen gehören:

Typ 1: \begin{eqnarray}G(x)=\exp (-{e}^{-x(x-\xi )/\vartheta }),\end{eqnarray}

Typ 2: \begin{eqnarray}G(x)=\left\{\begin{array}{rl}0, & x\lt \xi \\ \exp (-{(\frac{x-\xi }{\vartheta })}^{-k}), & x\ge \xi, \end{array}\right.\end{eqnarray}

Typ 3: \begin{eqnarray}G(x)=\left\{\begin{array}{rl}\exp (-{(\frac{\xi -x}{\vartheta })}^{k}), & x\le \xi \\ 1, & x\gt \xi, \end{array}\right.\end{eqnarray}

mit Parametern ξ ∈ ℝ, ϑ ∈ ℝ+ und k ∈ ℝ+.

Die Verteilungen vom Typ 1 werden auch als Fisher-Tippett-, Gumbel- oder log-Weibull-Verteilungen, die vom Typ 2 als Fréchet-Verteilungen und die vom Typ 3 als Weibull-Verteilungen bezeichnet.

Die Verteilungen vom Typ 1 werden mit Abstand am häufigsten verwendet, weshalb manche Autoren den Typ 1 auch als die Extremwertverteilung bezeichnen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Extremwertverteilungen
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Dichte der Gumbel-Verteilung mit ξ = 0 und ϑ = 1

Die Bezeichnung Extremwertverteilung rührt daher, daß sich nur eine der o. g. Verteilungen ergeben kann, wenn man die Grenzverteilung für n → ∞ des geeignet affin linear transformierten Maximums oder Minimums von n unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F bestimmt. Ob und gegen welche Vertei-lung die Verteilung des Extremwerts konvergiert, hängt allein von F ab. Gnedenko hat notwendige und hinreichende Bedingungen an F für die Konvergenz gegen jeden der drei Typen von Extremwertverteilungen angegeben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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