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Lexikon der Mathematik: Faber-Polynome

auf einem Kompaktum in ℂ wie folgt definierte Polynome.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge derart, daß K und Kc = ℂ \ K zusammenhängend sind. Dann existiert genau eine konforme Abbildung ψ von Δ :={ w ∈ ℂ : |w| > 1 } auf Kc mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\psi (w)=cw+{c}_{0}+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{{c}_{k}}{{w}^{k}}, & w\in \Delta \end{array}\end{eqnarray}

und c > 0. Dabei ist c die Kapazität von K. Die Umkehrabbildung von ψ sei φ. Dann existiert ein r > 0 mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\varphi (z)=dz+{d}_{0}+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{{d}_{k}}{{z}^{k}}, & |z|\gt r\end{array}\end{eqnarray}

und cd = 1. Weiter gilt für n ∈ ℕ die Laurent-Entwicklung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{[\varphi (z)]}^{n}={d}^{n}{z}^{n}+\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n-1}{d}_{nk}{z}^{k}, & |z|\gt r.\end{array}\end{eqnarray}

Der Polynomanteil dieser Laurent-Entwicklung heißt dann das n-te Faber-Polynom bezüglich K und wird mit Fn bezeichnet. Man setzt noch F0(z) = 1.

Wegen d ≠ 0 ist Fn ein Polynom vom genauen Grad n. Manche Autoren benutzen die Bezeichnung Faber-Polynome für die normierten Polynome \begin{eqnarray}{p}_{n}(z)=\frac{1}{{d}^{n}}{F}_{n}(z).\end{eqnarray}

Die explizite Berechnung von Fn ist nur in Sonderfällen möglich. Für \begin{eqnarray}K=\{z\in {\mathbb{C}}:|z-{z}_{0}|\le r\}\end{eqnarray}

mit z0 ∈ ℂ und r > 0 gilt \begin{eqnarray}{F}_{n}(z)=\frac{1}{{r}^{n}}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

für n ∈ ℕ0.

Ist K = [−1, 1] und n ∈ ℕ, so ist \(\frac{1}{2}{F}_{n}\) das n-te Tschebyschew-Polynom (1. Art).

Aus der Definition erhält man sofort \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{F}_{n}(\psi (w))={w}^{n}+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }n{b}_{nk}{w}^{-k}, & w\in \Delta.\end{array}\end{eqnarray}

Die Zahlen bnk heißen Grunsky-Koeffizienten.

Weiter folgt hieraus für m, n ∈ ℕ0 und R > 1 \begin{eqnarray}\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{|R|=1}\frac{{F}_{m}(\psi (w))}{{w}^{n+1}}dw=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r} \ m=n.\\ 0 & \text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r} \ m\ne n.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Es existiert eine erzeugende Funktion für die Faber-Polynome. Dazu sei R > 1, CR :={ z ∈ ℂ : |φ(z)|= R } eine äußere Niveaulinie von K und GR das Innere von CR. Dann gilt für |w|= R und z ∈ GR die Integraldarstellung \begin{eqnarray}{F}_{n}(z)=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{|w|=R}\frac{{w}^{n}{\psi }^{^{\prime} }(w)}{\psi (w)-z}dw,\end{eqnarray}

und hieraus folgt \begin{eqnarray}\frac{w{\psi }^{^{\prime} }(w)}{\psi (w)-z}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{F}_{n}(z)}{{w}^{n}}.\end{eqnarray}

Es existieren Konstanten A > 0 und \(\alpha \in (0,\frac{1}{2})\) (die nicht von K abhängen) mit \begin{eqnarray}\mathop{\max }\limits_{z\in K}|{F}_{n}(z)|\le A{n}^{\alpha }.\end{eqnarray}

Weiter gilt für w ∈ Δ \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }|{F}_{n}(\psi (w)){|}^{1/n}=|w|,\end{eqnarray}

wobei die Konvergenz in jeder abgeschlossenen Teilmenge von Δ gleichmäßig ist. Hieraus folgt, daß es zu jedem R > 1 ein n0 = n0(R) gibt derart, daß für n > n0 alle Nullstellen von Fn in GR liegen. Ist speziell K eine konvexe Menge mit inneren Punkten, so gilt genauer \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{F}_{n}(\psi (w)-{w}^{n})|\lt 1, & w\in \Delta.\end{array}\end{eqnarray}

Daher liegen in diesem Fall alle Nullstellen von Fn im Innern von K.

Faber-Polynome spielen eine wichtige Rolle bei der Darstellung holomorpher Funktionen durch Faber-Reihen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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