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Lexikon der Mathematik: Faber-Reihen

wie folgt definierte Verallgemeinerung von Potenzreihen.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge derart, daß K und Kc = ℂ \ K zusammenhängend sind und Fn das n-te Faber-Polynom bezüglich K (wobei sämtliche Bezeichnungen aus diesem Stichwort übernommen werden). Ist (an) eine Folge komplexer Zahlen, so heißt die formale unendliche Reihe \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{F}_{n}(z)\end{array}\end{eqnarray}

eine Faber-Reihe.

Gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\mathop{\mathrm{lim}\sup }\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}=\frac{d}{R}\end{array}\end{eqnarray}

und ist R > 1, so ist die Reihe (1) in GR kompakt konvergent gegen eine in GR holomorphe Funktion f. In diesem Fall gilt für n ∈ ℕ0\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{a}_{n}=\frac{1}{2\pi i}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{|w|=r}\frac{f(\psi (w))}{{w}^{n+1}}dw,\end{array}\end{eqnarray}

wobei 1 < r < R. Falls \(\mathrm{lim}{\sup }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}=0\), so ist die Reihe (1) in ganz ℂ kompakt konvergent. Ist umgekehrt R > 1, f eine in GR holomorphe Funktion und definiert man die Zahlen an durch (3), so ist die zugehörige Faber-Reihe (1) in GR kompakt konvergent gegen f. Besitzt f mindestens eine Singularität auf CR, so gilt außerdem (2). Die Reihe (1) heißt dann die Faber-Reihe von f, und die Zahlen an nennt man die Faber-Koeffizienten von f. In diesem Sinne sind Faber-Reihen eine natürliche Verallgemeinerung von Potenzreihen.

Nun sei speziell \(K=\bar{G}\) mit einem Jordan-Gebiet G, d. h. C = ∂G ist eine Jordan-Kurve. Dann ist die konforme Abbildung ψ zu einem Homöomorphismus von \(\bar{\Delta }\) auf ℂ \ G fortsetzbar. Weiter sei \(f\in A(\bar{G})\), d. h. \(f:\bar{G}\to {\mathbb{C}}\) ist eine in \(\bar{G}\) stetige und in G holomorphe Funktion. Dann kann man ebenfalls die Faber-Koeffizienten an von f gemäß (3) bilden, wobei r = 1 ist. Es entsteht die Frage, ob bzw. unter welchen Voraussetzungen die Faber-Reihe (1) von f gleichmäßig auf \(\bar{G}\) gegen f konvergiert. Dieses schwierige Problem konnte bisher nicht vollständig gelöst werden. Im folgenden werden einige Teilergebnisse erwähnt. Wesentlich dabei ist die Geometrie der Randkurve C und die „Glattheit“ von f auf C.

Dazu sei ∏n die Menge aller Polynome vom Grad höchstens n ∈ ℕ0 und En( f, K) der Fehler bei der besten Approximation von f auf K durch Polynome aus ∏n, d. h. \begin{eqnarray}{E}_{n}(f,K)=\mathop{\min }\limits_{{p}_{n}\in {\Pi }_{n}}\mathop{\max }\limits_{z\in K}|f(z)-{p}_{n}(z)|.\end{eqnarray}

Weiter sei Sn die n-te Teilsumme der Faber-Reihe von f, d. h. \begin{eqnarray}{S}_{n}(z)=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{a}_{k}{F}_{k}(z).\end{eqnarray}

Dann existieren Konstanten A > 0 und \(\alpha \in (0,\frac{1}{2})\) (die nicht von K oder f abhängen) mit \begin{eqnarray}\mathop{\max }\limits_{z\in K}|f(z)-{S}_{n}(z)|\le A{n}^{\alpha }{E}_{n}(f,K).\end{eqnarray}

Um genauere Ergebnisse für spezielle kompakte Mengen K zu formulieren, sei C eine rektifizierbare Jordan-Kurve, L die Länge von C und γ : [0, L] → C die Parameterdarstellung von C bezüglich der Bogenlänge. Dann besitzt C für fast alle s ∈ (0, L) eine Tangente im Punkt γ (s), und ϑ(s) bezeichne den Winkel der Tangente mit der positiven reellen Achse.

Falls sich die Funktion ϑ derart auf [0, L] fortsetzen läßt, daß eine Funktion von beschränkter Variation entsteht, so heißt C von beschränkter Drehung. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn C ein Polygonzug oder allgemeiner aus endlich vielen konvexen Teilbögen zusammengesetzt ist; Ecken sind dabei erlaubt. Ist nun C von beschränkter Dre-hung, so existieren Konstanten A > 0 und B > 0 (die nur von K, aber nicht von f abhängen) mit max \begin{eqnarray}\mathop{\max }\limits_{z\in K}|f(z)-{S}_{n}(z)|\le (A+B\ \mathrm{log}\ n){E}_{n}(f,K).\end{eqnarray}

Besitzt C außerdem keine einspringenden Spitzen und erfüllt f zusätzlich die Dini-Bedingung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}\frac{{\omega }_{f}(x)}{x}dx\lt \infty\end{array}\end{eqnarray}

für ein h > 0, wobei ωf den Stetigkeitsmodul von f auf K bezeichnet, d. h. \begin{eqnarray}{\omega }_{f}(\delta ):=\mathop{\max }\limits_{\begin{array}{c}{z}_{1},{z}_{2}\in K\\ |{z}_{1}-{z}_{2}|\le \delta \end{array}}|f({z}_{1})-f({z}_{2})|,\end{eqnarray}

so konvergiert die Faber-Reihe von f gleichmäßig auf K gegen f. Die Dini-Bedingung (4) ist zum Beispiel erfüllt, wenn f einer Lipschitz-Bedingung genügt, d. h. es existieren Konstanten α ∈ (0, 1] und M > 0 mit \begin{eqnarray}|f({z}_{1})-f({z}_{2})|\le M|{z}_{1}-{z}_{2}{|}^{\alpha }\end{eqnarray}

für alle z1, z2K. In diesem Fall gilt nämlich \begin{eqnarray}{\omega }_{f}(\delta )\le M{\delta }^{\alpha }.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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