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Lexikon der Mathematik: Faber-Schauder-System

ein System von auf einem reellen Intervall [a, b] definierten Funktionen { fn}n∈ℕ, das wie folgt konstruiert wird.

Es sei {wn}n∈ℕ eine in [a, b] dicht liegende Menge paarweise verschiedener Punkte mit w1 = a und w2 =

b. Dann definiert man für x ∈ [a, b] zunächst f1(x) ≡ 1 und f2(x) = (xa)/(ba). Zur Konstruktion von fn für n ≥ 3 wird zunächst dasjenige Intervall [wν, wµ] bestimmt, das wn enthält. Dann setzt man \begin{eqnarray}{f}_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}(x-{w}_{\nu})/({w}_{n}-{w}_{\nu}) & \text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r} \ {w}_{\nu}\le x\le {w}_{n},\\ (x-{w}_{\nu})/({w}_{n}-{w}_{\nu}) & \text{f}{\rm\ddot{u}}\text{r} \ {w}_{n}\le x\le {w}_{\mu },\\ 0 & \text{sonst}\text{.}\end{array}\right.\end{eqnarray}

Damit ist fn eine auf ganz [a, b] stetige und stückweise lineare Funktion.

Das Funktionensystem { fn}n∈ℕ ist eine Basis von C[a, b].

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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