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Lexikon der Mathematik: Fahnenmannigfaltigkeit

eine Mannigfaltigkeit, deren Elemente Fahnen sind.

Eine Fahne ist hierbei die Vereinigungsmenge einer Halbebene mit einer sie berandenden Halbgeraden. Es gilt: Jede Fahne im n-dimensionalen euklidischen Raum läßt sich durch Bewegungen des Raums in folgende Punktmenge der (x, y)-Ebene überführen: \begin{eqnarray}\begin{array}{cccc}\{(x,y)|y\gt 0 & \text{oder} & y=0 & \begin{array}{cc}\text{und} & x\gt 0\}.\end{array}\end{array}\end{eqnarray}

Es handelt sich hierbei also um die Menge derjenigen Punkte, die in der lexikographischen Ordnung größer als der Koordinatenursprung sind.

In allgemeinerer Form versteht man unter einer Fahnenmannigfaltigkeit ein algebraisches Schema mit zusätzlichen Eigenschaften.

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und 0 < a1 < … < aln eine Folge ganzer Zahlen.

Die Fahnenmannigfaltigkeit 𝔽(a1, a2, …, al; V) (oder 𝔽(a1, a2, …, al; n,) ist ein algebraisches über K, dessen zugrundeliegende Punktmenge mit Koordinaten aus einem Erweiterungskörper L aus allen Folgen von L-Unterräumen \begin{eqnarray}({U}_{1}\subseteq {U}_{2}\subseteq \ldots \subseteq {U}_{l}\subseteq V{\otimes }_{K}L)\end{eqnarray}

des Vektorraumes VK L besteht, wobei \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\dim\ ({U}_{j})={a}_{j}, & j=1,\ldots,l.\end{array}\end{eqnarray}

Es ist glatt und projektiv und läßt sich wie folgt als Schema beschreiben, ausgehend von Graßmann-schen Varietäten.

Es sei Gj die Graßmannsche Varietät der aj-dimensionalen Unterräume von V und G = G1× Gk (Faserprodukt über K). Weiterhin sei \(\mathcal{O}_{{G}_{j}}\otimes \to {Q}_{j}^{0}\) der universelle Quotient von V, pj : GGj die Projektion auf Gj und \({Q}_{j}={p}_{j}^{* }{Q}_{j}^{0}\). Dann sind \(\mathcal{O}\) und \({R}_{j}=\text{Ker}\ (\mathcal{O}_{G}\otimes V\mathop{\to }\limits^{{\tau }_{j}}{Q}_{j})\), (induziert durch \(\mathcal{O}_{{G}_{j}}\otimes V\to {Q}_{j}^{0}\) und pj) Vektorgarben auf G, und τj+1 induziert einen Homomorphismus \begin{eqnarray}{R}_{j}\mathop{\to }\limits^{{\sigma }_{j}}{Q}_{j+1}.\end{eqnarray}

Ist Z(σj), ⊂ G ein sog. Nullstellenschema von σj, so ist \begin{eqnarray}\mathbb{F}=\mathbb{F}({a}_{1},{a}_{2},\cdots, {a}_{l};V)=\displaystyle \underset{j=1}{\overset{l-1}{\cap }}Z({\sigma }_{j})\subset G,\end{eqnarray}

und ist Uj = Rj|𝔽 (a1, a2, …, al; V) die Einschränkung, so ist \({U}_{1}\subset {U}_{2}\subset \cdots \subset {U}_{l}\subset {{\mathscr{O}}}_{{\mathbb{F}}}\otimes V\) universelle Fahne in folgendem Sinne: Für jedes K-Schema S und jede Fahne vom Typ (a1, …, al, n) auf S, \({U}_{1}^{^{\prime} }\subset {U}_{2}^{^{\prime} }\subset \cdots \subset {U}_{l}^{^{\prime} }\subset {{\mathscr{O}}}_{S}\otimes V\) (Untervektorgarben) mit \(rg({U}^{^{\prime} }_{j})={a}_{j}\) gibt es genau einen K-Morphismus f : S → 𝔽 mit \(f^* {U}_{j}={U}^{^{\prime} }_{j}\).

Die Gruppe G = GL(V) wirkt transitiv auf 𝔽, sodaß 𝔽 als homogener Raum G/P dargestellt werden kann. Die Isotropiegruppen P sind Zariski-abgeschlossene Untergruppen von G, u. a. (bei geeigneter Basiswahl) die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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