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Lexikon der Mathematik: Faktorgruppe

die Gruppe der Nebenklassen einer Gruppe.

Praktisch wird dieser Begriff nur dann verwendet, wenn die Gruppenoperation als Multiplikation geschrieben wird. Die Gruppenoperation wird hier mit dem Symbol „·“ bezeichnet.

Seien G eine Gruppe und NG ein Normalteiler. Dann ist die Menge G/N der Nebenklassen von G bezüglich N eine Gruppe, die Faktorgruppe genannt wird.

Eine Untergruppe UG heißt Normalteiler, wenn jede Linksnebenklasse gU ={g · u | uU} zugleich die Rechtsnebenklasse Ug ={u · g | uU} ist. Für diesen Fall werden Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen einfach als Nebenklassen bezeichnet.

Die Gruppenoperation in der Faktorgruppe wird durch die Vorschrift gN · fN = (g · f)N definiert, dabei sind f und g Elemente von G. Aus der Kenntnis von Normalteiler und Faktorgruppe läßt sich die Ausgangsgruppe wieder rekonstruieren, sodaß zur Klassifikation von Gruppen lediglich die einfachen Gruppen behandelt werden müssen.

Es gilt: Die Projektion ϕ : GG/N ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern gerade der Normalteiler N ist. Dabei ist der Kern der Abbildung das Urbild ϕ−1(e) des neutralen Elements eG/N. Auf dieser Basis gibt es auch einen anderen Zugang zu dieser Begriffsbildung: Eine Untergruppe heißt Normalteiler, wenn sie der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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