Ring mit einer Zerlegungseigenschaft.

Es sei R ein Integritätsring und R^∗ die Menge aller Einheiten von R, das heißt, die Menge aller Elemente x ∈ R, für die es ein y ∈ R gibt mit x · y =1. Dann heißt R ein faktorieller Ring, wenn es zu jedem x ∈ R\R^∗ mit x ≠ 0 Primelemente p₁,…, p_r ∈ R gibt, so daß x = p₁ ··· p_r gilt.

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Äquivalent dazu ist die Bedingung: Zu jedem x ∈ R\R^∗ mit x ≠ 0 gibt es irreduzible Elemente q₁,…, q_r ∈ R, so daß a = q₁ ··· q_r gilt, wobei jedes irreduzible Element von R ein Primelement ist.

Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring. Insbesondere ist jeder Polynomring in einer Unbestimmten über einem Körper ein faktorieller Ring.