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Lexikon der Mathematik: Faktorisierung des Konfigurationsraumes, Satz von der

lautet:

Gegeben sei eine freie und eigentliche Wirkung einer Lie-Gruppe G auf einer Mannigfaltigkeit Q. Man betrachte den Kotangentiallift dieser Wirkung auf das Kotangentialbündel TQ zusammen mit der kanonischen Impulsabbildung.

Dann ist der reduzierte Phasenraum zu einem Impulsabbildungswert µ, der unter der koadjungierten Darstellung von G invariant bleibt, diffeomorph zum Kotangentialbündel des Quotientenraumes Q/G des Konfigurationsraums Q unter der anfänglichen G-Wirkung. Die symplektische 2-Form auf T(Q/G) ist die Summe aus der kanonischen 2-Form und der 2-Form τ* (⟨µ, F⟩), wobei \begin{eqnarray}\tau :T* (Q/G)\to Q/G\end{eqnarray}

die Bündelprojektion und F die Krümmungsform eines Zusammenhangs im Hauptfaserbündel QQ/G bedeuten.

Die Voraussetzungen über den Impulsabbildungswert µ sind in den Spezialfällen µ = 0 oder abelscher Lie-Gruppen erfüllt. Für allgemeinere Werte der Impulsabbildung nimmt der reduzierte Phasenraum die Struktur eines Faserbündels über T(Q/G) an, dessen typische Faser identisch mit der koadjungierten Bahn von G durch µ ist. Die hier auftretende Modifikation der kanonischen 2-Form auf T(Q/G) kann in der Physik als Magnetfeld interpretiert werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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