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Lexikon der Mathematik: Faktorisierung von Polynomen

das Zerlegen von Polynomen (in einer oder mehreren Veränderlichen über einem Körper 𝕂) in Produkte von irreduziblen Polynomen.

Die Faktorisierung von Polynomen über den rationalen Zahlen wird etwa mit Hilfe der Hensel-Lifting-Methode (Zassenhaus) auf die Faktorisierung über einem endlichen Körper zurückgeführt. Hier ist eine Methode der Berlekamp-Algorithmus. Von zentraler Bedeutung ist der Faktorisierungssatz.

Die Faktorisierung komplexer Polynome ist immer möglich. Ist f ein komplexes Polynom vom Grad n, so gibt es n (nicht notwendig verschiedene) komplexe Zahlen ai und eine komplexe Zahl c ≠ 0 mit \begin{eqnarray}f(X)=c\ldots \displaystyle \prod _{i=1}^{n}(X-{a}_{i}).\end{eqnarray}

Die ai sind die Nullstellen des Ausgangspolynoms. Die Faktorisierungseigenschaft folgt aus der Tatsache, daß jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen eine Nullstelle besitzt. Äquivalent hierzu ist, daß der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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