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Lexikon der Mathematik: Faltung, diskrete

auch (diskrete) Konvolution genannt, diskrete Verknüpfung von Funktionen.

Es sei P< eine lokal-endliche Ordnung, K ein Körper der Charakteristik 0 und \begin{eqnarray}{{\mathbb{A}}}_{K}(P):=\{f:{P}^{2}\to K:x{\nleq }y\Rightarrow f(x,y)=0\}.\end{eqnarray}

Das diskrete Faltprodukt fg von f, g ∈ 𝔸K(P) ist definiert durch \begin{eqnarray}(f* g)(x,y):=\displaystyle \sum _{z\in P,x\le z\le y}f(x,z)\ldots g(z,y).\end{eqnarray}

Die Summe auf der rechten Seite ist wegen der lokalen Endlichkeit von P< wohldefiniert. Ist xy, d. h. ist der Intervall [x, y] leer, so setzt man die rechte Seite des Faltprodukts gleich 0. Für alle f, g ∈ 𝔸K(P) gilt fg ∈ 𝔸K(P). 𝔸K(P) heißt die Inzidenzalgebra von P und ist eine assoziative K-Algebra mit der Kronecker-Deltafunktion δ als beidseitigem Einheitselement.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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