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Lexikon der Mathematik: Faltung von Maßen

Verknüpfung von zwei und, hieraus abgeleitet, endlich vielen Maßen.

Sind µ und ν endliche Maße auf der σ-Algebra \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{p})\) der Borelschen Mengen des ℝp, so ist die Faltung µν von µ und ν durch \begin{eqnarray}\mu * \nu:\mathfrak{B}({{\mathbb{R}}}^{p}\text{)}\ni B\to \displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{p}}\mu (B-y)\nu(dy)\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\end{eqnarray}

mit By :={xy : xB} definiert. Aufgrund von µν(ℝp) = µ(ℝp)ν(ℝp) ist die Faltung µν ebenfalls ein endliches Maß. Durch die Definition \begin{eqnarray}{\mu }_{1}* \ldots * {\mu }_{n+1}:=({\mu }_{1}* \ldots * {\mu }_{n})* {\mu }_{n+1}\end{eqnarray}

für n > 1 kann der Begriff der Faltung auf mehr als zwei Maße verallgemeinert werden. Die Faltung besitzt die folgenden Eigenschaften: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}{\nu }_{1}* {\nu }_{2} & = & {\nu }_{2}* {\nu }_{1}\\ ({\nu }_{1}* {\nu }_{2})* {\nu }_{3} & = & {\nu }_{1}* ({\nu }_{2}* {\nu }_{3})\\ {\nu }_{1}* ({\nu }_{2}+{\nu }_{3}) & = & {\nu }_{1}* {\nu }_{2}+{\nu }_{1}* {\nu }_{3}\\ {\nu }_{1}* (\alpha {\nu }_{2}) & = & \alpha ({\nu }_{1}* {\nu }_{2})\end{array}\end{eqnarray}

für alle endlichen Maße ν1, ν2 und ν3 auf ℬ(ℝp) sowie α ∈ ℝ+. Besitzen die endlichen Maße ν1, ν2 Dichten f1, f2 bezüglich des Lebesgue-Maßes λp auf \(\mathfrak{B}(\mathbb{R}^{p})\), so besitzt auch ν1ν2 eine λp-Dichte f1f2, die als Faltung von f1 und f2 bezeichnet wird, und es gilt \begin{eqnarray}{f}_{1}* {f}_{2}:{{\mathbb{R}}}^{p}\ni x\to \displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{p}}{f}_{1}(x-y){f}_{2}(y){\lambda }^{p}(dy)\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}.\end{eqnarray}

Für die Faltung von Dichten gelten zu den genannten Eigenschaften der Faltung von Maßen analoge Regeln.

Sind X1 und X2 auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierte unabhängige reelle Zufallsvariablen oder unabhängige zufällige Vektoren mit Werten in ℝp, so ist die Verteilung der Summe X1 +

X2 durch die Faltung der Verteilungen von X1 und X2 gegeben, d. h. es gilt \begin{eqnarray}{P}_{{X}_{1}+{X}_{2}}={P}_{{X}_{1}}* {P}_{{X}_{2}}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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