Verknüpfung von zwei und, hieraus abgeleitet, endlich vielen Maßen.

Sind µ und ν endliche Maße auf der σ-Algebra \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{p})\) der Borelschen Mengen des ℝ^p, so ist die Faltung µ ∗ ν von µ und ν durch \begin{eqnarray}\mu * \nu:\mathfrak{B}({{\mathbb{R}}}^{p}\text{)}\ni B\to \displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{p}}\mu (B-y)\nu(dy)\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\end{eqnarray}

mit B − y :={x − y : x ∈ B} definiert. Aufgrund von µ ∗ ν(ℝ^p) = µ(ℝ^p)ν(ℝ^p) ist die Faltung µ ∗ ν ebenfalls ein endliches Maß. Durch die Definition \begin{eqnarray}{\mu }_{1}* \ldots * {\mu }_{n+1}:=({\mu }_{1}* \ldots * {\mu }_{n})* {\mu }_{n+1}\end{eqnarray}

für n > 1 kann der Begriff der Faltung auf mehr als zwei Maße verallgemeinert werden. Die Faltung besitzt die folgenden Eigenschaften: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}{\nu }_{1}* {\nu }_{2} & = & {\nu }_{2}* {\nu }_{1}\\ ({\nu }_{1}* {\nu }_{2})* {\nu }_{3} & = & {\nu }_{1}* ({\nu }_{2}* {\nu }_{3})\\ {\nu }_{1}* ({\nu }_{2}+{\nu }_{3}) & = & {\nu }_{1}* {\nu }_{2}+{\nu }_{1}* {\nu }_{3}\\ {\nu }_{1}* (\alpha {\nu }_{2}) & = & \alpha ({\nu }_{1}* {\nu }_{2})\end{array}\end{eqnarray}

für alle endlichen Maße ν₁, ν₂ und ν₃ auf ℬ(ℝ^p) sowie α ∈ ℝ⁺. Besitzen die endlichen Maße ν₁, ν₂ Dichten f₁, f₂ bezüglich des Lebesgue-Maßes λ^p auf \(\mathfrak{B}(\mathbb{R}^{p})\), so besitzt auch ν₁ ∗ ν₂ eine λ^p-Dichte f₁ ∗ f₂, die als Faltung von f₁ und f₂ bezeichnet wird, und es gilt \begin{eqnarray}{f}_{1}* {f}_{2}:{{\mathbb{R}}}^{p}\ni x\to \displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{p}}{f}_{1}(x-y){f}_{2}(y){\lambda }^{p}(dy)\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}.\end{eqnarray}

Für die Faltung von Dichten gelten zu den genannten Eigenschaften der Faltung von Maßen analoge Regeln.

Sind X₁ und X₂ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierte unabhängige reelle Zufallsvariablen oder unabhängige zufällige Vektoren mit Werten in ℝ^p, so ist die Verteilung der Summe X₁ +

X₂ durch die Faltung der Verteilungen von X₁ und X₂ gegeben, d. h. es gilt \begin{eqnarray}{P}_{{X}_{1}+{X}_{2}}={P}_{{X}_{1}}* {P}_{{X}_{2}}.\end{eqnarray}