Lexikon der Mathematik: Farey-Folgen
geordnete Folgen echter Brüche. Für eine natürliche Zahl n ist die Farey-Folge \(\mathcal{F}_{n}\) der Ordnung n die aufsteigend geordnete Folge der gekürzten Brüche zwischen 0 und 1, deren Nenner ≤ n sind. Z.B. ist
Diese Folgen sind nach dem Geologen Farey benannt, der sie 1816 erwähnte. Allerdings waren diese Folgen schon 1802 von Haros eingeführt und untersucht worden. Dabei bewies Haros folgende Resultate:
- Sind \(\frac{a}{b}\)und \(\frac{{a}^{\prime}}{{b}^{\prime}}\)′zwei aufeinanderfolgende Brüche in einer Farey-Folge \(\mathcal{F}_{n}\), so gilt
\begin{eqnarray}|{a}^{\prime}b-{b}^{\prime}a|=1.\end{eqnarray} - Sind \(\frac{a}{b},\frac{{a}^{\prime}}{{b}^{\prime}},\frac{{a}^{\prime\prime}}{{b}^{\prime\prime}}\)drei aufeinanderfolgende Brüche in einer Farey-Folge \(\mathcal{F}_{n}\), so gilt a′b′ = a + a′′b + b′′
\begin{eqnarray}\frac{{a}^{\prime}}{{b}^{\prime}}=\frac{a+{{a}^{\prime\prime}}}{b+{{b}^{\prime\prime}}}.\end{eqnarray}
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