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Lexikon der Mathematik: Farey-Folgen

geordnete Folgen echter Brüche. Für eine natürliche Zahl n ist die Farey-Folge \(\mathcal{F}_{n}\) der Ordnung n die aufsteigend geordnete Folge der gekürzten Brüche zwischen 0 und 1, deren Nenner ≤ n sind. Z.B. ist \begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }_{5}=\left(\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\right).\end{eqnarray}

Diese Folgen sind nach dem Geologen Farey benannt, der sie 1816 erwähnte. Allerdings waren diese Folgen schon 1802 von Haros eingeführt und untersucht worden. Dabei bewies Haros folgende Resultate:

  1. Sind \(\frac{a}{b}\)und \(\frac{{a}^{\prime}}{{b}^{\prime}}\)zwei aufeinanderfolgende Brüche in einer Farey-Folge \(\mathcal{F}_{n}\), so gilt \begin{eqnarray}|{a}^{\prime}b-{b}^{\prime}a|=1.\end{eqnarray}
  2. Sind \(\frac{a}{b},\frac{{a}^{\prime}}{{b}^{\prime}},\frac{{a}^{\prime\prime}}{{b}^{\prime\prime}}\)drei aufeinanderfolgende Brüche in einer Farey-Folge \(\mathcal{F}_{n}\), so gilt ab′ = a + a′′b + b′′ \begin{eqnarray}\frac{{a}^{\prime}}{{b}^{\prime}}=\frac{a+{{a}^{\prime\prime}}}{b+{{b}^{\prime\prime}}}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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