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Lexikon der Mathematik: Farkas, Satz von

besagt, daß man jeden Vektor, der nicht in einem endlich erzeugten Kegel liegt, durch eine Hyperebene von diesem trennen kann.

Die präzise Formulierung ist wie folgt:

Sind a1, …, am ∈ ℝn und b ∈ ℝn, dann trifft genau eine der beiden folgenden Alternativen i) oder ii) zu:

  1. i) Das System \begin{eqnarray}{a}_{i}^{T}\ldots y\le 0,i=1,\ldots,m;{b}^{T}\ldots y\gt 0\end{eqnarray}besitzt eine Lösung y ∈ ℝn; die Menge \begin{eqnarray}\{x\in {{\mathbb{R}}}^{n}|{x}^{T}\ldots y=0\}\end{eqnarray}beschreibt dann die trennende Hyperebene.
  2. ii) Es gibt reelle Zahlen λ1 ≥ 0, …, λm ≥ 0 so, daß \begin{eqnarray}b=\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\lambda }_{i}\ldots {a}_{i}\end{eqnarray}gilt (d. h., b gehört zum endlich erzeugten Kegel K(a1, …, am)).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Farkas, Satz von
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Zum Satz von Farkas

Der Satz von Farkas (sowie weitere, ähnliche Alternativsätze) spielt eine wesentliche Rolle bei der Lösungstheorie von Systemen linearer Gleichungen und Ungleichungen. Er kann u. a. zum Beweis des Dualitätssatzes der linearen Programmierung verwendet werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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