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Lexikon der Mathematik: fast sichere Konvergenz

Konvergenz fast überall, Konvergenz mit Wahrscheinlichkeit 1, spezieller Konvergenzbegriff in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eine Folge (Xn)n∈N von auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierten reellen Zufallsvariablen konvergiert P-fast sicher (kurz: P-f.s.), P-fast überall (kurz: P-f.ü.) oder mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen eine ebenfalls auf (Ω, 𝔄, P) definierte reelle Zufallsvariable X, wenn \begin{eqnarray}P(\{\omega \in \Omega :\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{X}_{n}(\omega )=X(\omega )\})=1\end{eqnarray}

gilt.

Man schreibt XnX, \({X}_{n}\mathop{\to }\limits^{\text{f}\text{.s}\text{.}}X\) bzw. XnX (P-f.ü.), \({X}_{n}\mathop{\to }\limits^{\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{.}}X\). Die P-fast sichere Konvergenz \({X}_{n}\mathop{\to }\limits^{\text{f}\text{.s}\text{.}}X\) impliziert die stochastische Konvergenz \({X}_{n}\mathop{\to }\limits^{P}X\), nicht aber umgekehrt.

Zum Nachweis der fast sicheren Konvergenz kennt man das Cauchy-Kriterium; dieses greift, wenn für alle ω ∈ Ω außerhalb einer P-Nullmenge N das aus der Analysis bekannte Konvergenzkriterium von Cauchy für die Folge (Xn(ω))n∈ℕ erfüllt ist, d. h. wenn für alle ωN zu jedem ϵ > 0 ein n0 existiert, so daß für alle m, n > n0 gilt \begin{eqnarray}|{X}_{m}(\omega )-{X}_{n}(\omega )|\lt \varepsilon.\end{eqnarray}

Es gilt der folgende Satz:

Eine Folge (Xn)n∈ℕreeller Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) konvergiert genau dann P-fast sicher gegen eine Zufalls-variable X auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum, wenn sie das Cauchy-Kriterium für die fast sichere Konvergenz erfüllt.

Für alle ω ∈ Ω außerhalb einer P-Nullmenge gilt dann \(X(\omega )=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{X}_{n}(\omega )\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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