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Lexikon der Mathematik: fast überall gültige Eigenschaften

Eigenschaften, beispielsweise einer Funktion, die für fast alle Elemente ihres Definitionsbereichs, d. h. mit Ausnahme höchstens einer Nullmenge, zutreffen.

So heißt etwa eine Funktion fast überall stetig, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge ist.

Eine maßtheoretisch exakte Definition lautet wie folgt: Es sei Ω eine Menge, \(\mathcal{M}\in \mathcal{P}(\Omega)\) eine Teilmenge der Potenzmenge \(\mathcal{P}(\Omega)\) über Ω, µ ein Maß auf \(\mathcal{C}\) und E eine Eigenschaft, die für jeden Punkt ω ∈ Ω definiert, ob sie für ihn zutrifft oder nicht. Dann sagt man, daß die Eigenschaft E µ-fast überall auf Ω oder für µ-fast alle ω ∈ Ω gilt, wenn sie bis auf eine Menge vom Maß Null gilt.

Oft kann man Eigenschaften von Funktionen nicht für den ganzen Definitionsbereich erschließen, aber immerhin fast überall, d. h. die Ausnahmestellen sind in einem gewissen Sinn zu vernachlässigen. Der Ableitungssatz von Fubini z. B. besagt (unter anderem), daß die punktweise konvergente Reihe einer Folge isotoner oder antitoner Funktionen fast überall differenzierbar ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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