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Lexikon der Mathematik: Fatou-Hurwitz-Pólya, Satz von

Aussage in der Funktionentheorie, die wie folgt lautet:

Es sei \(f(z)=\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}\)eine Potenzreihe mit Konvergenzkreis BR(0), R ∈ (0, ∞). Für jede Folge ϵ = (ϵn) mit ϵn ∈ {−1, +1} sei \begin{eqnarray}{g}_{\varepsilon }(z):=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\varepsilon }_{n}{a}_{n}{z}^{n}.\end{eqnarray}

Weiter sei ℱ die Menge aller Funktionen gϵ derart, daß BR(0) das Holomorphiegebiet von gϵ ist.

Dann hat ℱ die Mächtigkeit des Kontinuums, d. h., die Mächtigkeit von ℝ.

Hausdorff hat unter der zusätzlichen Voraussetzung \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\ \text{sup}}\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\sqrt[n]{|{a}_{n}|}\end{eqnarray}

gezeigt, daß es dann sogar höchstens abzählbar viele Funktionen gϵ gibt, die nicht in \(\mathcal{F}\) liegen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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