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Lexikon der Mathematik: Fatou, Lemma von

eine Aussage über die Integrale einer Folge meßbarer Funktionen.

Es sei (Ω, \(\mathcal{A}\), μ) ein Maßraum, (\({f}_{n}:\Omega \to \bar{{\mathbb{R}}}|{f}_{n}{\mathcal{A}}-{\mathcal{B}}(\bar{{\mathbb{R}}})\)−meßbar für alle n ∈ ℕ) eine Folge meß-barer Funktionen, und es existiere das µ-Integral der Funktion \(f:\Omega \to \bar{{\mathbb{R}}}\).

Dann gilt

  1. (a) Ist ∫ fdμ > −∞ und fn ≥ f fast überall für alle n ∈ ℕ, so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \int \mathop{\underline{lim}}{f}_{n}{d}_{\mu }\le \mathop{\underline{lim}}\displaystyle \int {f}_{n}{d}_{\mu }.\end{eqnarray}
  2. (b) Ist ∫ fdμ < ∞ und fn ≤ f fast überall für alle n ∈ ℕ, so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \int {\overline{lim}}{f}_{n}{d}_{\mu }\ge {\overline{lim}}\displaystyle \int {f}_{n}{d}_{\mu }.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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