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Lexikon der Mathematik: Fatou-Riesz, Konvergenzsatz von

Aussage aus der Funktionentheorie über die Konvergenz einer Potenzreihe.

Es sei \begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n}\end{eqnarray}

eine Potenzreihe mit limn→∞an = 0 und Konvergenzkreis BR(0), R ∈ (0, ∞). Weiter sei L∂BR(0) ein Holomorphiebogen von f, d. h. L ist ein abgeschlossener Kreisbogen, und f ist in jeden Punkt von L holomorph fortsetzbar.

Dann konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig auf L gegen die holomorphe Fortsetzung von f nach L.

Man beachte, daß wegen der Voraussetzung limn→∞an = 0 automatisch R ≥ 1 gilt.

Aus dem Satz von Fatou-Riesz folgt zum Beispiel, daß die Potenzreihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{z}^{n}}{n}\end{eqnarray}

auf 𝔼 \{1} kompakt konvergent ist, denn es gilt \begin{eqnarray}\mathrm{log}(1-z)=-\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{z}^{n}}{n},\end{eqnarray}

und die Logarithmusfunktion ist in jeden Punkt c𝔼 \{1} holomorph fortsetzbar.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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